01. Frames and Sign Conventions¶

Learning objectives¶

이 chapter 를 마치면 다음을 할 수 있다.

ISO 8855 RH 와 SAE J670 의 좌표계 차이를 식의 부호 변화로 즉시 식별한다.
4 가지 frame (world / body / wheel / contact) 사이의 변환을 quaternion 으로 정확히 정의한다.
slip angle alpha 와 slip ratio kappa 의 부호 직관을 좌선회 / 가속 / 제동 각각의 case 로 설명한다.
yaw integration 의 정확한 형식 (quaternion ODE) 과 simplification (planar yaw) 의 적용 범위를 판별한다.

Prerequisites¶

선형대수 — 회전 행렬, 정규 직교 기저.
Quaternion 기초 — Hamilton product, conjugate.
외부 reference — Pacejka §1.3 (ISO vs SAE), Genta §2.2 (좌표계 정의).

1.1 동기 — 왜 좌표계가 별도 chapter 인가¶

차량 동역학에서 가장 흔한 버그는 부호 실수다. 같은 단어가 책마다 다른 부호를 의미한다.

책	y 축	α 부호 (좌선회)	Fy 부호 (좌선회)	yaw 양의 방향
ISO 8855 RH (Genta, EU)	leftward	α > 0	Fy < 0	CCW (위에서 본)
SAE J670 (Rajamani, US)	rightward	α < 0	Fy < 0	CW (위에서 본)

본 시리즈는 ISO 8855 RH 단일 채택. 모든 식이 이 가정 위에서 유도된다. 다른 책의 식을 옮길 때 — 예: Rajamani 의 δ − atan(v_y / v_x) — 의 부호 변환을 명시적으로 추적해야 한다. 그대로 옮기면 yaw rate / lateral force 의 부호가 반대로 나온다.

1.2 가정¶

본 chapter 의 모든 식은 다음 가정 위에서 유도된다.

가정	의미	깨지는 case
Flat ground	지구 곡률 무시	장거리 GNSS / banked turn
Contact normal = ground normal	suspension travel 시에도 normal 불변	rough terrain (chapter 14)
Small roll / pitch	yaw 적분에 planar simplification 적용 가능	aggressive maneuver (chapter 06)
차량은 rigid + sprung body 단일	sprung body 의 yaw 가 vehicle yaw	flexible chassis (out of scope)

가정이 깨지는 chapter 별 연결은 §1.10 에서 정리한다.

1.3 네 가지 frame¶

Inertial (world) frame `W`¶

ENU (East-North-Up) right-handed.
원점: 시뮬레이션 시작 시점의 차량 CG (또는 임의 fix).
차량 trajectory (x_w, y_w, z_w) 가 여기서 측정된다.

Body frame `B`¶

원점: sprung body 의 CG.
축: x_B forward, y_B leftward, z_B up (ISO 8855 RH).
vehicle 의 모든 속도 / 가속도 / 힘은 별도 표기 없는 한 body frame.

Wheel frame `W_i`¶

원점: i 번째 wheel 의 contact point (또는 wheel center, 문맥에 따라).
축: x_W 는 wheel 의 forward 방향 (steered wheel 의 경우 body x 에서 δ 만큼 회전), y_W 는 wheel 의 left, z_W 는 contact normal.

Contact frame `C_i`¶

Wheel frame 과 동일하나 z 가 ground normal 과 align 됨.
Flat ground 가정 하에서 contact frame = wheel frame.
비평탄 지형에서는 두 frame 이 분리 (chapter 14).

ISO 8855 frame, wheel index, slip angle

1.4 Quaternion 으로 본 회전¶

Body → world 변환은 unit quaternion 으로 표현한다.

\[ v_{\text{world}} = q \otimes v_{\text{body}} \otimes q^{-1} \]

여기서 q 는 body frame 의 orientation. q = Identity 일 때 body frame 이 world frame 과 일치.

ZYX Tait-Bryan Euler ↔ quaternion¶

본 시리즈는 ZYX intrinsic Tait-Bryan (no axis repetition) 을 채택한다.

\[ R(\phi, \theta, \psi) = R_z(\psi) \cdot R_y(\theta) \cdot R_x(\phi) \]

순서가 roll → pitch → yaw 의 적용 순서이며, 회전 행렬은 그 역순으로 쌓인다. 다른 책의 ZYX extrinsic / XYZ intrinsic 등과 결과가 다르므로, 외부 식을 옮길 때는 순서를 명시적으로 추적해야 한다.

Yaw 만 필요할 때 — `atan2` 추출¶

roll / pitch 가 작은 영역에서는 yaw 만 필요한 경우가 흔하다. 일반 식:

\[ \psi = \operatorname{atan2}\!\left(2(q_w q_z + q_x q_y),\; 1 - 2(q_y^2 + q_z^2)\right) \]

roll / pitch = 0 의 special case 에서는 psi = 2 · atan2(q_z, q_w) 로 간략화 가능.

1.5 ISO 8855 의 slip 정의¶

Slip angle `alpha`¶

Wheel center 의 velocity 를 wheel frame 으로 옮긴 후:

\[ \alpha = \operatorname{atan2}(v_{y,\text{wheel}},\; v_{x,\text{wheel}}) \]

Front wheel (steered angle δ):

\[ v_{x,\text{wheel}} = v_{x,\text{body}} \cos\delta + v_{y,\text{body}} \sin\delta \qquad v_{y,\text{wheel}} = -v_{x,\text{body}} \sin\delta + v_{y,\text{body}} \cos\delta \]

여기서 wheel position 의 lever arm 적용: v_{y,body} = v_{y,cg} + a · r.

Rear wheel (un-steered, wheel frame = body frame):

\[ v_{x,\text{wheel}} = v_{x,\text{body}}, \qquad v_{y,\text{wheel}} = v_{y,cg} - b r \]

부호 직관 — 좌선회 case¶

좌선회 (r > 0, δ > 0). Rear axle 을 보면 v_{y,wheel} = v_y − b·r. Steady-state 에서 v_y 가 약간 음수, b · r 가 양수 → 합쳐서 음수. v_x 양수 → α_r = atan2(−, +) < 0.

따라서 ISO 8855 RH 에서 좌선회 시 α < 0.

다음으로 Pacejka 의 Fy = -D · sin(...) 의 leading minus 부호를 보면: α < 0 → sin(...) < 0 → Fy > 0. 즉 cornering force 가 차량을 안쪽으로 (+y = leftward = inside of left turn) 잡아준다.

SAE J670 의 책에서는 같은 좌선회의 α 부호가 반대로 나오므로 (y-axis 방향 차이), 다른 reference 의 식을 옮길 때 이 부호 변환을 항상 추적한다.

Slip ratio `kappa`¶

\[ \kappa = \frac{R\, \omega - v_{x,\text{wheel}}}{\max(|v_{x,\text{wheel}}|,\; \varepsilon)} \]

omega — wheel angular velocity [rad/s], rolling forward 시 양.
R — kinematic (loaded) wheel radius.
R · omega — slip 없을 때의 진행 속도.
ε — 정지 근처에서 발산 방지하는 floor.

부호 직관¶

case	식 부호	κ	Fx
가속 (drive)	R·ω > v_x	κ > 0	Fx > 0
제동 (brake)	R·ω < v_x	κ < 0	Fx < 0
정지	ω = v_x = 0	κ = 0	Fx = 0

1.6 World 변환 — yaw integration¶

차량의 world position 적분은 body velocity 를 world frame 으로 회전시켜 수행한다.

Planar simplification (roll / pitch ≈ 0)¶

\[ \dot{x}_w = v_x \cos\psi - v_y \sin\psi \qquad \dot{y}_w = v_x \sin\psi + v_y \cos\psi \qquad \dot\psi = r \]

이 형식은 Ld1 / Ld2 모델에서 충분하다. roll / pitch 가 작은 영역에서는 정확 quaternion ODE 와 거의 일치한다.

Quaternion ODE (정확 형식)¶

\[ \dot q = \tfrac{1}{2}\, q \otimes [0,\; \omega_{\text{body}}], \qquad \omega_{\text{body}} = (p, q, r) \]

p, q, r 는 body frame 의 angular velocity 성분. roll / pitch 가 활성화된 Ld3 (chapter 06) 부터는 이 정확 형식이 필요하다.

Yaw 적분의 흔한 실수¶

planar 형식에서 dot ψ = r 이 핵심이다. vx 를 yaw 적분에 사용하는 실수 (예: dot ψ = vx / R 같은 잘못된 식) 가 자주 발생한다. 차량이 정지 (vx = 0) 인데 외란으로 yaw 가 변하는 case 를 표현 못 한다.

1.7 검증 전략¶

본 chapter 의 식과 부호 약속은 다음과 같이 자동 검증한다.

검증	식 / 케이스
Quaternion identity	`quat_from_euler({0,0,0}) ≈ Identity`
Yaw round-trip	`yaw_from_quat(quat_from_euler({0,0,π/2})) ≈ π/2`
ISO 8855 좌선회 부호	해석적 steady-state 의 r, α_r, Fy 부호가 §1.5 의 표와 일치
Wheel frame 변환	동일한 wheel velocity 에 대해 body / wheel 두 frame 의 slip 식이 같은 α 반환
기준 비교	Genta §3.1 의 understeer gradient 식과 부호 일치

세부 unit test 매핑은 §1.11 의 implementation note 참조.

1.8 한계¶

본 chapter 의 약속과 식이 적용 안 되는 case.

한계	영향	다루는 chapter
Banked road / 경사로	flat ground 가정 위반	chapter 14 (contact frame 분리)
Roll / pitch 가 큰 maneuver	planar yaw 적분의 오차 누적	chapter 06 (quat ODE)
지구 곡률	world ENU 의 flat 가정 위반	본 시리즈 out of scope
Suspension travel 의 contact 변화	wheel frame 의 z 가 변화	chapter 14 (kinematic table)

1.9 다음 chapter 와의 연결¶

좌표계와 부호가 정해졌으므로, chapter 02 는 이 frame 위에서의 강체 운동방정식 (Newton-Euler) 을 정리한다. body frame 에서 EoM 을 쓰면 관성 행렬이 시간 불변 이라는 핵심 이점을 활용할 수 있다. 이 토대 위에서 Pacejka (chapter 03), Ld1 (chapter 04), Ld2 (chapter 05), Ld3 (chapter 06) 가 같은 base 를 공유한다.

1.10 참고문헌¶

Genta, G. Motor Vehicle Dynamics, World Scientific, 2014. §2.2 좌표계 정의, §3.1 slip 정의.
Pacejka, H.B. Tire and Vehicle Dynamics, 3^rd ed., 2012. §1.3 ISO 8855 vs SAE.
Rajamani, R. Vehicle Dynamics and Control, 2^nd ed., Springer, 2012. SAE convention — 부호 변환 후 인용.
Sola, J. Quaternion kinematics for the error-state Kalman filter, arXiv:1711.02508, 2017. Tait-Bryan vs proper Euler 의 명확한 정리.

1.11 Self-check¶

1. ISO 8855 RH 에서 좌선회 시 yaw rate r 의 부호는?

`r > 0`. ENU 의 z 가 up 이고 ISO 의 z 도 up 이라, 위에서 본 CCW 가 양.

2. 같은 좌선회에서 ISO 8855 RH 와 SAE J670 의 alpha 부호는 각각?

ISO 8855 RH 에서 `α < 0`, SAE J670 (Rajamani) 에서 `α > 0`. y 축 방향이 반대라 같은 물리 운동의 alpha 부호가 뒤집힌다. Fy 는 두 convention 에서 동일하게 음 (restoring) — sign 두 번 뒤집혀 보존.

3. ε floor 를 빠뜨리면 어떤 case 에서 kappa 가 발산하는가?

차량 정지 직전 (`v_{x,wheel} → 0`) + wheel 이 약간이라도 회전 중 (`omega ≠ 0`) 인 case. 분모가 0 으로 가서 `κ → ±∞`. ε ≈ 0.5 m/s 로 clamping.

4. quat_from_euler({roll, pitch, yaw}) 의 인자 순서가 (x, y, z) 회전 순서가 아니라 (φ, θ, ψ) 인 이유는?

ZYX intrinsic Tait-Bryan 의 회전 행렬은 `R_z · R_y · R_x` 순으로 쌓이지만, *적용 순서* 는 `roll → pitch → yaw` (intrinsic rotation 의 정의에 따라). 함수의 parameter 가 *적용 순서* 를 따르므로 `(roll, pitch, yaw) = (φ, θ, ψ)`. 외부 reference 에서 *회전 행렬 곱 순서* 와 혼동하지 않도록 주의.

5. yaw 적분에 vx 가 아니라 r 을 사용하는 이유는?

`vx = 0` 인 정지 상태에서도 외란 (예: rear tire impulse) 으로 yaw 가 변할 수 있다. yaw rate 는 body angular velocity 성분이고, 이는 forward speed 와 독립. `dot ψ = vx / R` 같은 잘못된 식은 정지 차량의 yaw 변화를 표현 못 한다.

1.12 VDSim 구현 노트¶

본 chapter 의 약속을 VDSim 코드가 따르는 방식. 본문 의존 없이 skim 가능.

[VDSim impl] § 1.3 — Wheel index 상수

core/include/vdsim/types.hpp:15-19:
constexpr int WHEEL_FL   = 0;  // front left  (+x forward, +y leftward)
constexpr int WHEEL_FR   = 1;
constexpr int WHEEL_RL   = 2;
constexpr int WHEEL_RR   = 3;
constexpr int NUM_WHEELS = 4;
[VDSim impl] § 1.4 — Quaternion 변환 코드

Eigen Quaterniond 사용. core/src/coordinate.cpp 의 yaw_from_quat, quat_from_euler 두 함수:
inline double yaw_from_quat(const Quat& q) {
    return std::atan2(2.0 * (q.w() * q.z() + q.x() * q.y()),
                      1.0 - 2.0 * (q.y() * q.y() + q.z() * q.z()));
}
Quat 의 (w, x, y, z) 순서는 Eigen 의 w(), x(), y(), z() accessor 로 접근. 다른 lib (예: ROS tf2) 의 (x, y, z, w) 와 순서 다른 점에 주의.

[VDSim impl] § 1.5 — Slip 계산 코드

core/src/bicycle_dynamics.cpp:146-152:
const double alpha_f = std::atan2(v_fy_wheel, v_fx_wheel);
const double alpha_r = std::atan2(v_ry_body,  v_rx_body);

const double kappa_f = (R * of  - v_fx_wheel) / denom_f;
const double kappa_r = (R * or_ - v_rx_body)  / denom_r;
denom_* 는 std::max(std::abs(v_*), 0.5) 로 ε floor 강제.

[VDSim impl] § 1.6 — ABI 상의 State 약속

core/include/vdsim/state.hpp 의 약속:

필드 frame 단위

State::position world ENU m

State::orientation body → world unit Quat

State::velocity body m/s (vx, vy, vz)

State::angular_velocity body rad/s (p, q, r)

tire_forces_body() body N

wheel_slip_angle() wheel rad

이 약속은 모든 모델 사다리 (Ld1-Ld3 + 계획 중인 Ld4-Ld5) 에서 동일. dynamics 를 갈아끼워 다른 fidelity 로 가도 외부 코드 (controller, CARLA plugin) 가 다시 짜지 않는다.

[VDSim impl] § 1.7 — 검증 unit test

검증 test 파일

Quaternion identity 와 round-trip tests/unit/test_coordinate.cpp

헤더 컴파일 / Vec3::UnitZ default tests/unit/test_headers_compile.cpp

ISO 8855 좌선회 부호 통과 tests/integration/test_bicycle_steady_state.cpp 의 LeftTurnYawRateMatchesAnalytical

[VDSim impl] § 1.x — 자주 실수하는 코드 패턴

실수 증상 VDSim 의 대응

Rajamani 의 δ − atan(...) 사용 yaw rate 부호 반대 atan2(v_y_wheel, v_x_wheel)

Wheel 위치 lever arm 누락 rear axle alpha 부호 틀림 vy − b·r 명시

Yaw 적분에 vx 사용 정지 차량의 yaw 가 표류 dot ψ = r

Quat 의 (w, x, y, z) 순서 혼동 rotation 결과 깨짐 Eigen w()/x()/y()/z() accessor

ε floor 누락 저속에서 κ 발산 std::max(|vx|, 0.5)

Roll/pitch 가 quat 에 안 들어감 Ld3 시각화에서 차체 안 기울어짐 quat_from_euler({roll, pitch, yaw})

필드	frame	단위
`State::position`	world ENU	m
`State::orientation`	body → world	unit Quat
`State::velocity`	body	m/s (vx, vy, vz)
`State::angular_velocity`	body	rad/s (p, q, r)
`tire_forces_body()`	body	N
`wheel_slip_angle()`	wheel	rad

검증	test 파일
Quaternion identity 와 round-trip	`tests/unit/test_coordinate.cpp`
헤더 컴파일 / Vec3::UnitZ default	`tests/unit/test_headers_compile.cpp`
ISO 8855 좌선회 부호 통과	`tests/integration/test_bicycle_steady_state.cpp` 의 `LeftTurnYawRateMatchesAnalytical`

실수	증상	VDSim 의 대응
Rajamani 의 `δ − atan(...)` 사용	yaw rate 부호 반대	`atan2(v_y_wheel, v_x_wheel)`
Wheel 위치 lever arm 누락	rear axle alpha 부호 틀림	`vy − b·r` 명시
Yaw 적분에 `vx` 사용	정지 차량의 yaw 가 표류	`dot ψ = r`
Quat 의 `(w, x, y, z)` 순서 혼동	rotation 결과 깨짐	Eigen `w()/x()/y()/z()` accessor
ε floor 누락	저속에서 κ 발산	`std::max(\|vx\|, 0.5)`
Roll/pitch 가 quat 에 안 들어감	Ld3 시각화에서 차체 안 기울어짐	`quat_from_euler({roll, pitch, yaw})`