14. Hardpoint Kinematics (Ld4)¶

Learning objectives¶

이 chapter 를 마치면 다음을 할 수 있다.

suspension 운동학의 공통 입출력 (travel, steer → camber, toe, track, caster) 과 강체 knuckle 의 회전으로부터 각도를 추출하는 방법을 안다.
4 topology (double wishbone / MacPherson / trailing arm / 5-link) 각각의 joint 제약과 풀이 방법을 설명한다.
Gruebler mobility 로 각 topology 의 자유도가 닫히는지 검증한다.
lookup (offline CSV 보간) 과 native (runtime 풀이) 두 backend 가 하나의 인터페이스로 통일되는 구조를 설명한다.

Prerequisites¶

Chapter 13 — multibody 데이터 모형, hardpoint/joint abstraction.
Chapter 06 — Ld3 와의 통합 지점 (camber/toe → Pacejka).
외부 — 강체 회전 (rotation matrix, axis-angle), Newton/LM, Gruebler.

14.1 동기 — 공통 black-box 인터페이스¶

모든 suspension 의 운동학은 동일한 인터페이스를 갖는다.

입력: (wheel_travel, steer_input)
출력: (camber, toe, track_change, caster)

wheel_travel [m] — bump 양수 (wheel 이 chassis 대비 위로).
steer_input — DW/MP 는 steering rack lateral displacement [m]; rear (TA/5-link) 는 무시.
camber [rad] — wheel plane 의 y-z tilt (좌측 wheel: top 이 +y 면 양수).
toe [rad] — spin axis 의 x-y 회전 (toe-in 양수).
track_change [m] — wheel center 의 y 변위.
caster [rad] — kingpin axis 의 x-z tilt.

14.2 가정¶

가정	의미	깨지는 case
강체 link/knuckle	bushing compliance 없음	Ld5
Kinematic only	force coupling 없음	force feedback
Front-only steer	rear steer 없음	4WS
Quasi-static FK	동역학 없음 (자세만)	full DAE

14.3 강체 운동학의 공통 패턴¶

knuckle 은 강체. 정적 wheel center 를 기준점으로, hardpoint 정적 offset 을 knuckle frame 에 고정. travel 에 따라 knuckle 이 회전·평행이동하면:

\[ p_{\text{world}}(R, t) = LK + R\,(p_{\text{static}} - LK_{\text{static}}) \]

$R$ 은 knuckle 회전 (정적 대비), $LK$ 는 현재 lower-knuckle 위치. camber/toe 는 회전된 spin axis 에서:

\[ \begin{aligned} \text{spin}_{\text{world}} &= R \cdot \text{spin}_{\text{body}} \\ \text{camber} &= \operatorname{atan2}(-\text{spin}_z,\; |\text{spin}_y|) \quad(\text{좌; 우 부호 반전}) \\ \text{toe} &= \operatorname{atan2}(\text{spin}_x,\; \text{spin}_y) \end{aligned} \]

각 topology 의 차이는 joint 제약이 $R$ 을 어떻게 결정하느냐에 있다.

14.4 Double wishbone — sequential closed-form¶

UCA/LCA 가 각각 chassis revolute axis 를 갖고, knuckle 은 LK/UK/TK 세 ball joint 로 부착. Gruebler mobility (N=4: chassis, LCA, UCA, TieRod):

joint	type	제약 c
LCA-chassis	revolute	5
LCA-knuckle	ball	3
UCA-chassis	revolute	5
UCA-knuckle	ball	3
TieRod-rack	ball	3
TieRod-knuckle	ball	3

$M = 6(N-1) - \sum c = 24 - 22 = 2$. tie rod 자체 축 회전이 passive DOF 1 → active $M=1$ (wheel travel). steer 입력 1 로 닫힌다.

풀이 순서 (sequential, global solve 불필요):

LCA 각 $\theta_l$ — wheel travel 목표로 Newton: $$\text{wheel}_z(\theta_l) = (LK(\theta_l) + R(\theta_l)\,\text{off}_{\text{wheel}})_z \overset{!}{=} z_{\text{static}} + \text{travel}$$ 진짜 wheel z 를 써야 한다 (small-angle 근사 $LK_z+\text{off}_z$ 는 ±50 mm 에서 ~3 mm 오차).
UCA 각 $\theta_u$ — $|UK - LK| = L_{LU}$ 보존하도록 sphere-sphere Newton.
TK — 3-sphere trilateration (LK/UK/tie_rod_inner 중심, 반경 $L_{LT}/L_{UT}/L_{tr}$), 정적 위치에 가까운 해 선택.
knuckle frame — (LK→UK) 를 kingpin x축, TK 로 y축 평면 → $R_{\text{now}}$, $R_\Delta = R_{\text{now}} R_{\text{static}}^T$.

DW wheel-travel × steer sweep (camber/toe/track/caster)

DW 의 (travel, steer) sweep — camber/toe/track/caster 4 곡선. lookup table 의 source.

14.5 MacPherson — cylindrical joint 제약¶

DW 와 차이: UCA 가 없고 strut 이 그 역할. strut tube 는 knuckle 에 강체 결합, chassis top mount 는 spherical bearing, 내부는 telescoping (스프링 압축) + 축 회전 허용 → cylindrical joint.

핵심: strut 의 제약은 "strut 길이 일정" 이 아니라 "tube axis 가 top mount 를 통과" 이다. compression 길이는 자유 (스프링이 결정), 방향만 구속.

\[ \text{tube\_axis}_{\text{body}} = \frac{ST_{\text{static}} - SK_{\text{static}}}{\|ST_{\text{static}} - SK_{\text{static}}\|} \]

회전 후 cross-product 제약 (3 scalar, 1 redundant):

\[ (SK_{\text{world}} - ST_{\text{chassis}}) \times (R \cdot \text{tube\_axis}_{\text{body}}) = 0 \]

tie rod 거리 제약 1 scalar 추가 → knuckle 3 회전 DOF 가 닫힌다. LM 으로 푼다. strut 을 양단 ball-joint 고정길이 막대로 모델하면 (sphere 제약 1 scalar) 축 회전이 미닫혀 발산 → regularization hack + 비현실적 camber gain (~1°/mm). 올바른 cylindrical 제약으로는 0.034°/mm (sedan 표준), 단발 LM 수렴.

14.6 Trailing arm — 단일 revolute¶

가장 단순. arm + knuckle + wheel 이 한 강체, chassis 측 single revolute axis. $M = 6 - 5 = 1$ (wheel travel), steer 없음. axis 방향이 gain 을 결정한다:

pure trailing (axis ∥ +y): camber/toe gain 0.
semi-trailing (axis 에 x 또는 z 성분): gain 발생.

풀이: arm 회전각 $\theta$ 하나만 Newton (wheel z 목표).

14.7 5-link — general multilink¶

가장 일반적 (다른 topology 가 특수 케이스). 5 개의 양단 ball-joint rigid link. knuckle 6-DOF, 각 link 1 length 제약 → 5 제약 + wheel-z 입력 1 → 6 제약 on 6 DOF, 닫힘.

knuckle pose $= (x, y, z, \text{axis-angle})$ 6-vector. 잔차:

\[ \begin{aligned} r_i &= \|\text{pos} + R\,\text{off}_{\text{knuckle},i} - \text{chassis}_i\| - L_{\text{link},i}, \quad i=1\ldots5 \\ r_6 &= \text{pos}_z - (z_{\text{static}} + \text{travel}) \end{aligned} \]

Levenberg-Marquardt. continuation (이전 sweep 해를 warm-start) 으로 부드러운 단조 해 family.

14.8 두 backend — lookup vs native¶

같은 ISuspensionKinematics 인터페이스에 두 구현:

Backend	특성
Lookup	offline solver 의 (travel × steer) CSV 를 bilinear 보간. O(1).
Native	runtime 에 hardpoint 직접 풀이. hardpoint 가 변하는 케이스 (compliance).

native 출력이 grid point 에서 lookup 과 $<10^{-3}$ rad 일치.

14.9 Ld3 와의 연결¶

fourteen_dof 가 매 substep: (1) per-wheel travel $= z_u - z_{\text{corner,sprung}}$ (bump 양수), (2) compute(travel, steer) → camber, toe, (3) 좌/우 mirror 부호, (4) Ld2 의 Pacejka gamma 입력 + wheel steer 에 toe 가산. 이것이 chapter 06 의 phenomenological camber_per_roll · φ 를 대체한다. attach 안 하면 legacy fallback (back-compat).

14.10 검증 전략¶

검증	케이스
Gruebler mobility	각 topology 의 active DOF = 입력 수
Wheel-z 정확도	true wheel z Newton 후 < 0.1 μm
native↔lookup	grid point 에서 $<10^{-3}$ rad 일치
self-consistency	diagnose.py 4 type gain 이 차종 표준 범위

14.11 한계¶

항목	현재
Compliance (bushing)	없음 — 강체 joint (Ld5)
Steer 통합	DW/MP rack displacement 만; rear steer 없음
Anti-dive/squat 정량	kinematic 만; force 효과 미반영
Tire force coupling	camber/toe → tire 입력만 (역방향 없음)
K&C chart	sweep CSV + plot; Adams 형식 미구현

14.12 다음 chapter 와의 연결¶

chapter 13-14 가 multibody kinematics (Ld4) 를 완성했다. chapter 15 는 이 모든 ladder 의 정확성을 보증하는 validation + DOE (ISO 표준 기동) 를, chapter 16 은 FMI 표준 통합을 다룬다.

14.13 참고문헌¶

Milliken & Milliken, Race Car Vehicle Dynamics, SAE, 1995, §17 suspension geometry / instant center / roll center.
Reimpell, Stoll, Betzler, The Automotive Chassis, 2001, K&C / suspension types.
Gillespie, T., Fundamentals of Vehicle Dynamics, SAE, 1992, camber/toe gain 정의.

14.14 Self-check¶

1. DW 의 wheel-z Newton 에서 true wheel z 를 써야 하는 이유?

small-angle 근사 $LK_z+\text{off}_z$ 는 knuckle 회전을 무시해 ±50 mm travel 에서 ~3 mm 오차. 회전된 wheel center 의 실제 z 를 target 으로 풀어야 정확.

2. MacPherson 을 고정길이 막대로 모델하면 왜 발산하나?

sphere 제약 1 scalar 만으로는 knuckle 의 strut-축 회전이 미구속 → 해가 닫히지 않아 발산/regularization 필요. cylindrical (cross-product 3, 1 redundant) 제약이 방향만 구속하고 길이는 자유로 둬야 정확.

3. trailing arm 의 camber gain 이 axis 방향에 의존하는 이유?

pure trailing (axis ∥ y) 은 회전이 순수 pitch-up 이라 camber/toe 불변. axis 에 x/z 성분(semi-trailing)이 있으면 회전이 wheel plane 을 기울여 gain 발생.

4. 5-link 가 다른 topology 의 일반형인 이유?

5 개 length 제약 + knuckle 6-DOF 의 일반 LM 문제. DW/MP/TA 는 link 일부가 revolute/ball/strut 로 특수화된 경우로, 같은 6-제약 풀이의 부분집합이다.

5. lookup backend 가 native 와 거의 같은데도 native 가 필요한 이유?

lookup 은 고정 hardpoint 의 사전 sweep. hardpoint 가 runtime 에 변하는 경우 (compliance, 설계 편집, live editor) 는 native 가 즉시 재풀이해야 한다.

14.15 VDSim 구현 노트¶

[VDSim impl] § 14.1 — 인터페이스 코드

core/include/vdsim/suspension.hpp:
class ISuspensionKinematics {
public:
    struct Output { double camber, toe, track_change, caster; };
    virtual Output compute(double wheel_travel,
                           double steer_input) const noexcept = 0;
};
[VDSim impl] § 14.4-14.7 — solver 파일 + 샘플

topology Python C++ native 샘플 gain

DW dw_3d_solver.py dw_native_kinematics.cpp camber −0.094°/mm, RC 7.5 cm

MP mp_3d_solver.py mp_native_kinematics.cpp camber 0.034°/mm, strut 19.4°

TA ta_3d_solver.py ta_native_kinematics.cpp camber 0.022, toe 0.009°/mm

5-link fivelink_3d_solver.py fivelink_native_kinematics.cpp camber 0.019, toe 0.026°/mm

회계 상세: docs/tasks/T27_ld4_dw~T30_ld4_5link/REPORT.md.

[VDSim impl] § 14.8 — backend factory + 검증

create_lookup_kinematics(csv) (bilinear), create_{dw,mp,ta,5link}_native_kinematics(yaml). 일치 검증: tests/unit/test_suspension_lookup.cpp.

[VDSim impl] § 14.9 — Ld3 attach
auto k = vdsim::create_lookup_kinematics("dw_front.csv");
vdsim::attach_front_kinematics(*l3_dyn, std::move(k));
[VDSim impl] § 14.x — toolchain
hardpoint YAML (configs/suspensions/*.yaml)
  ├─ tools/kinematics/diagnose.py          self-consistency
  ├─ tools/kinematics/*_3d_solver.py       sweep CSV
  ├─ tools/kinematics/import_hardpoints.py Adams CSV → YAML
  └─ builder/suspension_editor.html        Three.js live edit (WS → native)
diagnose.py 출력 예: DW RC 7.5cm/camber −0.094°/mm/wheel-z err <0.1μm, MP strut 19.4°, TA semi-trailing 14°/anti-dive 5.5°, 5-link lengths [0.36,0.36,0.38,0.38,0.35].

topology	Python	C++ native	샘플 gain
DW	`dw_3d_solver.py`	`dw_native_kinematics.cpp`	camber −0.094°/mm, RC 7.5 cm
MP	`mp_3d_solver.py`	`mp_native_kinematics.cpp`	camber 0.034°/mm, strut 19.4°
TA	`ta_3d_solver.py`	`ta_native_kinematics.cpp`	camber 0.022, toe 0.009°/mm
5-link	`fivelink_3d_solver.py`	`fivelink_native_kinematics.cpp`	camber 0.019, toe 0.026°/mm