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08. Lc5-AxTarget / Lc6-VTarget (PI + Feed-Forward Cascade)

Learning objectives

이 chapter 를 마치면 다음을 할 수 있다.

  1. longitudinal control 에 PI + FF 가 적합하고 PID/pure-FF 가 부적합한 이유를 plant 특성으로 설명한다.
  2. anti-windup 의 필요성과 integrator clamp 의 효과를 기술한다.
  3. cascade (Lc6 → Lc5 → Lc4) 에서 inner-loop bandwidth 가 outer 보다 빨라야 하는 이유를 설명한다.
  4. saturation 전파 (outer integrator windup) 의 거동과 해결책을 판단한다.

Prerequisites

  • Chapter 07 — control 사다리, Lc4-Lc6 의 위치.
  • Chapter 04 — longitudinal dynamics (\(\dot v_x = F_x/m\)).
  • 외부 — PI/PID, cascade control 기초 (Aström & Murray).

8.1 동기 — PI + FF (not PID, not pure FF)

longitudinal dynamics 는 작은 perturbation 영역에서 1차에 가깝다.

\[ \dot v_x \approx \frac{T_{\text{drive}}\, \eta_{\text{drivetrain}} - F_{\text{aero}} - F_{rr}}{m} \]

\(F_{\text{aero}}\sim v_x^2\) 는 weak nonlinearity.

  • Pure P — SS error 존재 (drag 보상 불가).
  • PI — integrator 가 SS error 를 0 으로.
  • PID — D term 이 noise amplify, \(v_x\) noise 대비 이득보다 손해.
  • PI + FF — FF 가 transient, integrator 가 SS bias.

Lc5 의 일반형 (default \(K_d=0\)):

\[ u = K_p\, e + K_i \int e\, dt + K_d\, \dot e + K_{ff}\, a_{x,\text{target}} \]

8.2 가정

가정 의미 깨지는 case
1차 plant linear PI 로 충분 gain scheduling 필요 영역
Pedal mutually exclusive throttle·brake 동시 비영 없음 regen / hybrid braking
Clamp anti-windup integrator \(\pm i_{\max}\) cap back-calculation 필요
Sedan calibration \(K_{ff}, K_p\) 가 sedan default FSK/race 재튜닝

8.3 Lc5-AxTarget

\(a_{x,\text{target}}\) → throttle/brake \(\in[0,1]\).

\[ \begin{aligned} e &= a_{x,\text{target}} - a_{x,\text{meas}} \\ \text{integ} &\mathrel{+}= e\, dt \quad (\text{clamp } \pm i_{\max}) \\ u &= K_p e + K_i\,\text{integ} + K_d \dot e + K_{ff}\, a_{x,\text{target}} \\ &\begin{cases} u\ge0: & \text{throttle}=\operatorname{clamp}(u,0,1),\; \text{brake}=0 \\ u<0: & \text{throttle}=0,\; \text{brake}=\operatorname{clamp}(-u,0,1) \end{cases} \end{aligned} \]

Throttle/brake 자동 분기

\(u\) 의 부호로 dispatch — mutually exclusive. 단순 가정으로, 실제는 (1) regen EV 에서 \(u<0\) 이 throttle<0 일 수 있고, (2) 급격한 sign 전환 시 actuator dead-time 으로 진동 가능. follow-up: overlap dead-band, regen mode.

Anti-windup

integrator 를 \(\pm i_{\max}\) 로 clamp. saturation 동안 integrator 가 무한 누적되어 desaturation 후 overshoot 를 만드는 windup 을 방지한다. 정량 사례는 §8.10 box.

Feed-forward

\(K_{ff}\, a_{x,\text{target}}\) 가 transient 를 빠르게 한다. 직관: 목표 가속도에 필요한 throttle 을 모델이 미리 출력하고 PI 가 보정. gain 추정:

\[ K_{ff} \approx \frac{m R}{T_{\max}} \approx \frac{1500\cdot0.32}{300} \approx 1.6\;\text{s}^2/\text{m} \]

normalized throttle 로 변환하면 \(K_{ff,\text{norm}}\approx0.10\) (sedan). 차종별 calibration 필요.

8.4 Lc6-VTarget — Cascade PI

\(v_{\text{target}}\) → \(a_{x,\text{target}}\).

\[ e = v_{\text{target}} - v_{x,\text{meas}}, \quad \text{integ} \mathrel{+}= e\,dt\;(\text{clamp}), \quad a_{x,\text{target}} = \operatorname{clamp}(K_p e + K_i\,\text{integ},\, \pm a_{\text{clamp}}) \]

cascade:

v_target → Lc6 PI → ax_target → Lc5 PI+FF → throttle/brake → Plant
  • outer (Lc6) 가 inner (Lc5) 보다 느림.
  • inner 가 빠르게 \(a_x\) 를 tracking → outer 입장에서 \(a_x\) 가 거의 즉시 따라가는 1차 system 으로 보임.
  • gain/saturation 분리 → 개별 tuning 용이. industrial cascade 의 표준.

bandwidth 분리 가이드:

\[ \omega_{\text{inner}} \ge 3\, \omega_{\text{outer}} \]

default 에서 inner ~5-10 rad/s, outer ~1-2 rad/s (ratio ~5, 충분 separation).

8.5 Cascade 한계 — saturation 전파

\(a_{x,\text{target}}\) 가 차량 max \(a_x\) 를 초과하면:

  • Lc5 가 throttle=1.0 saturate.
  • 실제 \(a_x\) 가 못 따라가 Lc6 의 vx error 가 누적 → integrator windup.
  • anti-windup clamp 로 막히지만 outer wind-down 까지 지연.

해결 (follow-up): Lc6 의 \(a_{\text{clamp}}\) 를 차종 max \(a_x\) 로 자동 조정, conditional integration (saturation 시 hold), back-calculation anti-windup.

8.6 검증 전략

검증 케이스
Lc5 부호 분기 target>0 throttle, <0 brake
Integrator 누적 + reset clear
Anti-windup sustain error 후 $
Clamp 출력 \([0,1]\) / \(\pm a_{\text{clamp}}\)
Lc6 부호 error>0 → \(a_x>0\)
End-to-end step ax target 추종 (saturation 노출)

8.7 한계

항목 한계
Linear PI gain scheduling 없음 (vx, μ별 별도 tuning)
Pedal exclusive regen/hybrid braking 미반영
Saturation feedback conditional/back-calc 가 더 정확
Disturbance FF road slope, wind 미반영
Actuator dynamics first-order throttle/brake lag 미반영
차종 calibration sedan default, FSK/race 재튜닝

8.8 다음 chapter 와의 연결

chapter 08 은 longitudinal cascade (Lc5/Lc6) 를 다뤘다. chapter 09 는 lateral + path 의 Lc7/Lc8 (Pure Pursuit, curvature → steer) 을 전개하며, 둘이 합쳐져 full path tracking (chapter 10 driver model) 을 구성한다.

8.9 참고문헌

  • Aström, K.J. & Murray, R.M., Feedback Systems, Princeton, 2008, §10 PID.
  • Aström & Hägglund, Advanced PID Control, ISA, 2006, §6 anti-windup, §10 cascade.
  • Skogestad & Postlethwaite, Multivariable Feedback Control, Wiley, 2005.

8.10 Self-check

1. longitudinal control 에 D term 을 빼는 이유? $v_x$ 신호의 noise 가 D term 으로 증폭되는데, plant 가 1차에 가까워 D 의 phase-lead 이득이 작다. 손해(noise)가 이득(damping)보다 커서 $K_d=0$.
2. anti-windup 없이 saturation 에 오래 머물면? integrator 가 계속 누적되어 desaturation 후에도 큰 적분값이 남아 과도한 overshoot/지연 desaturation 을 만든다. clamp 또는 conditional integration 필요.
3. cascade 에서 inner loop 가 outer 보다 느리면? outer 가 명령한 $a_x$ 를 inner 가 제때 못 따라가 두 loop dynamics 가 결합되어 진동/불안정. $\omega_{\text{inner}}\ge3\omega_{\text{outer}}$ 로 decouple 해야 한다.
4. feed-forward gain 을 너무 크게 잡으면? PI 보정 전에 FF 가 과도 입력을 줘 overshoot. $K_{ff}$ 는 plant inverse 의 근사($mR/T_{\max}$)에 맞춰야 하고 차종별로 다르다.
5. ax_target 이 차량 한계를 넘으면 end-to-end 에서 무엇이 보이나? throttle saturate + 실측 $a_x$ 가 target 에 미달 + outer integrator windup. 이는 controller 버그가 아니라 plant limitation 의 정상 노출이다.

8.11 VDSim 구현 노트

[VDSim impl] § 8.3 — LongAxController 코드

core/src/control_converter.cpp 의 LongAxController::update. default \(K_p=0.4, K_i=0.6, K_{ff}=0.10, K_d=0, i_{\max}=2.5\). \(K_i\cdot i_{\max}=1.5\) 로 integrator 단독 contribution 이 이미 throttle clamp 안에 들어와 작은 \(i_{\max}\) 로 충분.

[VDSim impl] § 8.4 — LongVxController 코드

core/src/control_converter.cpp 의 LongVxController::update. default \(K_p=0.8, K_i=0.20, a_{\text{clamp}}=3.5\).

[VDSim impl] § 8.5 — DriverModel cascade gain

DriverModel (chapter 10) 이 내부 cascade 사용: vx PID \(K_p=0.6, K_i=0.15\) (auto cascade 보다 느림 — 인간 reaction 모사), ax PID 는 Lc5 default.

[VDSim impl] § 8.6 — 검증 test + end-to-end

LongAxController.* 7 (ZeroErrorZeroOutput, PositiveTargetUsesThrottle, NegativeTargetUsesBrake, IntegratorAccumulates, ResetClearsState, OutputsAreClamped, IntegratorAntiwindup) + LongVxController.* 4 (ZeroErrorZeroOutput, PositiveErrorPositiveAx, NegativeErrorNegativeAx, OutputClamped). 11 pass.

vdsim_ax_track_demo step target (0→+2→0→−3→0, 10 s):

Phase ax_target mean ax RMSE 해석
accel +2 +0.58 1.42 actuator saturation
coast 0 +0.47 0.48 momentum + integ residual
brake −3 −1.51 2.24 tire saturation
idle 0 0 0.02 drift 최소

[VDSim impl] § 8.x — 사용 예제

vdsim::LongAxController axc;  axc.initialize({.kp=0.4,.ki=0.6,.kff=0.10});
vdsim::LongVxController vxc;  vxc.initialize({});
while (...) {
    double ax_t = vxc.update(v_target, dyn->state().vx(), dt);
    auto [thr, brk] = axc.update(ax_t, dyn->ax_body_est(), dt);
    vdsim::CmdL4 cmd{.throttle=thr, .brake=brk,
                     .steer_angle_wheel=steer_from_planner};
    dyn->step(cmd, contacts, dt);
}
vdsim_path_tracking 의 main loop 와 거의 동일.