06. Ld3-FourteenDOF (Sprung 3 + Unsprung 4 Vertical DOF)

Learning objectives

이 chapter 를 마치면 다음을 할 수 있다.

1. lumped 14-DOF 모델의 state 구성과 sprung heave/roll/pitch ↔ unsprung z 의 결합을 식 단위로 기술한다.
2. anti-dive geometry 의 effective \(h_{cg}\) (scalar factor) 가 pitch moment 를 어떻게 줄이는지 설명한다.
3. wheel-hop frequency 의 이론값과 lumped corner-damper 모델에서 그 peak 이 왜 뚜렷하지 않은지 (overdamped unsprung) 를 판단한다.
4. quasi-static (Ld2) 과 dynamic (Ld3) 의 거동 차이가 transient 와 dynamic Fz 에서 드러남을 설명한다.

Prerequisites

• Chapter 05 — quasi-static weight transfer, roll-stiffness share.
• Chapter 11 — RK4 substepping, 1-step lag.
• 외부 reference — Genta §7 (lumped 14-DOF), spring-mass-damper 기초.

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6.1 동기 — 14-DOF 의 분해

DOF group	성분	수
Sprung translation	\(x, y, z\)	3
Sprung rotation	\(\phi, \theta, \psi\)	3
Unsprung vertical	\(z_{u}\) (FL,FR,RL,RR)	4
Wheel spin	\(\omega\) (FL,FR,RL,RR)	4

합계 14. Ld3 는 planar (x, y, ψ, vx, vy, r) + 4 wheel spin 을 inner Ld2 로 위임하고, sprung vertical 3 (\(z_s, \phi, \theta\)) + unsprung vertical 4 (\(z_{u,i}\)) 를 추가한다. planar 7 + vertical 7 = 14 DOF (14 second-order ODE = 28 first-order).

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6.2 가정

가정	의미	깨지는 case
Lumped suspension	spring/damper 가 corner-to-unsprung 1D	chapter 13-16 (Ld4-Ld5 hardpoint)
Small-angle linearized	corner disp \(= z_s + r_y\phi - r_x\theta\)	대각 자세
Single corner damper	sprung/unsprung damping 공유	wheel-hop FFT (§6.4 한계)
Scalar anti-dive	geometry 를 \([0,1]\) factor 로	instant-center 정확 모델
Zero camber	\(\gamma=0\) (Pacejka API 만)	chapter 13-16
Outer-step lag \(a_x,a_y\)	vertical 적분 중 constant	chapter 11 (substep update)

lumped 가정을 푸는 것이 chapter 13-16 (Ld4-Ld5) 의 hardpoint + joint + bushing 분해.

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6.3 Sprung body EoM (heave / roll / pitch)

corner displacement (sprung side) — heave + pitch + roll 결합:

\[ z_{\text{corner},i} = z_s + r_{y,i}\, \phi - r_{x,i}\, \theta, \qquad v_{\text{corner},i} = \dot z_s + r_{y,i}\, \dot\phi - r_{x,i}\, \dot\theta \]

\(r_{y,i} = \pm T_w/2\) (좌 \(+\), 우 \(-\)). corner 변형에 roll arm 을 포함시키면 per-corner spring/damper 가 roll stiffness 와 roll damping 을 자연히 생성한다 (별도 lumped \(K_\phi\)/\(C_\phi\) 불필요).

spring + damper force on sprung corner (upward positive):

\[ \delta_i = z_{\text{corner},i} - z_{u,i}, \quad v_i = v_{\text{corner},i} - \dot z_{u,i}, \quad F_i = - k_i\, \delta_i - c_i\, v_i \]

Sprung body EoM:

\[ \begin{aligned} m_s\, \ddot z_s &= \textstyle\sum_i F_i \\ I_{yy}\, \ddot\theta &= -\textstyle\sum_i r_{x,i} F_i - m_s\, a_x\, h_{cg}\, (1 - \text{anti}) \\ I_{xx}\, \ddot\phi &= \textstyle\sum_i r_{y,i} F_i - K_{\text{ARB}}\, \phi + m_s\, a_y\, h_{cg} \end{aligned} \]

좌우 대칭 spring 이면 \(\sum_i r_{x,i}F_i\) 의 roll 성분과 \(\sum_i r_{y,i}F_i\) 의 pitch 성분이 상쇄되어 pitch/roll 이 분리된다.

Heave (z_s)

spring 합력이 sprung mass 의 vertical 가속도를 만든다.

Pitch (θ) 와 anti-dive

\[ I_{yy}\, \ddot\theta = -\textstyle\sum_i r_{x,i} F_i - m_s\, a_x\, h_{cg}\, (1 - \text{anti}) \]

• \(-\sum_i r_{x,i} F_i\): spring/damper 의 pitch moment (front 압축 → nose down).
• \(-m_s a_x h_{cg}\): inertia 의 pitch 기여. ISO 부호 \(+\theta=\) nose-down 이므로 제동(\(a_x<0\))→\(+\theta\) (dive), 가속(\(a_x>0\))→\(-\theta\) (squat).
• \((1 - \text{anti})\): suspension geometry 의 anti-dive/anti-squat.

real suspension 은 brake reaction 의 일부가 suspension link 의 instant center 를 통해 chassis 로 직접 전달되어 그만큼 pitch moment 가 감소한다. 단순 모델:

\[ \text{anti} = \begin{cases} \text{anti\_dive\_front} & a_x < 0 \\ \text{anti\_squat\_rear} & a_x \ge 0 \end{cases} \;(\text{clamp } [0,1]), \qquad M_{\text{inertia,pitch}} = -m_s\, a_x\, h_{cg}\, (1 - \text{anti}) \]

\(\text{anti}=1\) 이면 brake 시 pitch 없음, \(0\) 이면 full pitch.

Roll (φ)

\[ I_{xx}\, \ddot\phi = \underbrace{\textstyle\sum_i r_{y,i} F_i}_{\text{spring/damper}} - \underbrace{K_{\text{ARB}}\, \phi}_{\text{anti-roll bar}} + m_s\, a_y\, h_{cg} \]

• \(\sum_i r_{y,i} F_i\): corner spring/damper 가 만드는 roll restoring moment + roll damping. 대칭 spring 이면 등가 stiffness \(= (k_l+k_r)(T_w/2)^2\), damping \(= (c_l+c_r)(T_w/2)^2\) — 별도 항 없이 자동.
• \(K_{\text{ARB}} = K_{\text{ARB},f} + K_{\text{ARB},r}\): anti-roll bar 의 roll 전용 stiffness (undamped). 유일한 roll 전용 입력.

단위 두 관례: \(K_{\text{ARB}}\) 는 차체 roll 각 기준 roll stiffness [N·m/rad] (Milliken RCVD 표준). 시뮬레이터/setup 에서 흔한 wheel-rate [N/m] 와는 axle track 으로 환산된다: \(K_{\text{ARB,axle}} = k_{\text{wheel}}\cdot T_w^2/2\), 즉 \(k_{\text{wheel}} = 2 K_{\text{ARB,axle}}/T_w^2\). spring 유도식 \((k_l+k_r)(T_w/2)^2\) 와 동일 factor. GUI 는 두 입력을 track 으로 양방향 링크해 한쪽 입력 시 나머지를 자동 계산하고, 저장은 roll stiffness 가 canonical.

quasi-static SS (\(K_{\phi,\text{spring}} = (k_l+k_r)(T_w/2)^2\) 의 axle 합):

\[ \phi_{ss} = \frac{m_s\, a_y\, h_{cg}}{K_{\phi,\text{spring}} + K_{\text{ARB}}} \]

왜 roll 도 corner spring 에서 유도하는가

이전 구현은 heave/pitch 만 corner spring 에서 유도하고 roll 은 별도 lumped \(K_\phi\) 입력을 썼다 — spring set 과 roll 거동이 decouple 되어 부드러운 spring + 임의의 큰 roll stiffness 같은 비물리 조합이 가능했다. corner 변형에 \(r_{y,i}\phi\) 를 넣으면 roll stiffness/damping 이 spring 에서 자동 유도되어 heave/pitch 와 정합한다. ARB 는 spring 으로 표현 안 되는 roll 전용 요소이므로 \(K_{\text{ARB}}\) 로 분리 — spring 과 ARB 를 독립적으로 tune 할 수 있다 (motorsport setup).

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6.4 Unsprung mass EoM

per-corner unsprung 의 vertical:

\[ m_{u,i}\, \ddot z_{u,i} = - F_{\text{susp},i} - k_{\text{tire}}\, (z_{u,i} - z_{\text{road},i}) = + k_i\, \delta_i + c_i\, v_i - k_{\text{tire}}\, (z_{u,i} - z_{\text{road},i}) \]

(Newton III: spring/damper 가 sprung 을 위로 미는 force 의 반작용이 unsprung 을 아래로.) \(k_{\text{tire}}\) = tire_vertical_stiffness (default 220 kN/m). \(z_{\text{road},i}\) = ContactPoint.road_dz, 바퀴 접지점의 노면 높이 (roughness + 지형).

노면 contact 와 지형 자세 (terrain attitude)

\(z_{\text{road},i}\) 가 이 모델이 노면을 받는 유일한 통로다. contact provider 가 바퀴별로 채운다:

• RoughGround: 2-tone 종방향 profile (wheel-hop 가진).
• HeightmapGround / InclinedGround: 바퀴 접지점 높이 − CG 접지점 높이, 즉 CG 상대 per-wheel 편차. 절대 고도(예: 50 m)를 그대로 넣으면 소변형 선형 모델이 발산하므로 상대값을 쓴다. 이 편차의 tilt 성분이 4 corner 의 \(z_u\) 를 서로 다르게 settle 시켜 sprung body 의 roll/pitch 를 노면 평면에 맞춘다.

정상상태 검증 (sedan, InclinedGround): 6° bank → body roll 5.98°, 5° grade → nose-up pitch 4.86° (tire vertical compliance 로 약 2-3% undershoot, flat 은 정확히 0). 즉 L3 는 노면 기울기를 body attitude 로 반영한다 — L1/L2 와의 핵심 차이 (chapter 05 §5.x 참조).

Grip Fz coupling (dynamic tire load → 종/횡력)

L3 는 매 step 동적 per-corner tire load 를 계산해 inner 의 grip 계산에 주입한다 (set_external_fz):

\[ F_{z,i}^\text{dyn} = F_{z,i}^\text{static,full} + k_{\text{tire}}\,(z_{\text{road},i} - z_{u,i}) \]

이로써 suspension transient·노면/지형 하중변동이 tire 종/횡력 grip 에 반영된다 (이전엔 inner Ld2 의 quasi-static \(F_z\) 만 사용 → 환류 없음). 정상상태 transfer 는 Ld2 와 일치하므로 L3 planar 거동은 Ld2 와 근사 일치(divergence ~3e-6, 더 이상 bit-identical 아님)하고, 차이는 transient(turn-in roll lag)과 rough/지형에서 드러난다. 예: rough road 에서 FL grip \(F_z\) std 2.9 N (Ld2 는 0.4 N). Fz/μ 추정기 검증 데이터 생성에 유용.

결합 load 의 static 항은 per-wheel \(\cos(\text{slope})\) 스케일 + aero downforce 를 포함한다 (60 m/s 에서 race_car total \(F_z\) 8.8→24.5 kN, 10° 경사에서 \(\cos\) 스케일 확인). 남은 근사는 unsprung 횡 하중이동 한 항뿐 (일반 트랙에서 작음).

Wheel-hop frequency

tire 가 vertical spring 으로 작용 (radial deformation \(= F_z / k_{\text{tire}}\), 승용 200-300 kN/m). 이것이 unsprung resonance 의 dominant stiffness:

\[ \omega_{\text{hop}} = \sqrt{\frac{k_{\text{tire}}}{m_u}}, \qquad f_{\text{hop}} = \frac{\omega_{\text{hop}}}{2\pi} \]

sedan default: \(\sqrt{220000/40}/(2\pi) \approx 11.8\) Hz.

Damping ratio 한계

unsprung 의 critical damping:

\[ \zeta_u = \frac{c_{\text{corner}}}{2\sqrt{k_{\text{spring}}\, m_u}} \]

sedan default (\(c=3000, k=30000, m_u=40\)): \(\zeta_u = 1.37\) — overdamped. 실차 corner damper 는 sprung resonance (~1-2 Hz) 에 맞춰 \(\zeta\sim0.3\)-\(0.5\) 인데, 동일 \(c\) 를 unsprung (10+ Hz) 에 쓰면 너무 stiff 하다. 단일 corner damper 모델 에서는 wheel-hop FFT 의 11.8 Hz peak 이 뚜렷이 안 보이고 ~5 Hz coupled mode 만 보인다. follow-up: corner damper 를 sprung/unsprung 로 분리 (§6.13 box).

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6.5 RK4 적분 — 14 vertical DOF

State (planar 7 은 inner Ld2):

\[ y = [\,z_s, \dot z_s, \phi, \dot\phi, \theta, \dot\theta,\; z_{u,FL}, \dot z_{u,FL},\, \ldots,\, z_{u,RR}, \dot z_{u,RR}\,] \]

각 second-order 항이 §6.3-6.4 식대로 계산되어 \(\dot y = f(y,t)\) 구성, RK4 (chapter 11) 로 적분. substep dt = 1 ms. \(a_x, a_y\) 는 outer-step 1-step lag (vertical 적분 동안 constant).

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6.6 Pose 의 quaternion encoding

yaw 는 planar Ld2 가 적분, roll \(\phi\) / pitch \(\theta\) 는 Ld3 의 결과. ZYX intrinsic Euler 로 quat 구성하면 외부 시각화 (CARLA, viewer) 가 차체 자세를 그대로 표현한다. Ld1-Ld2 는 yaw 만 encode (RPY = 0,0,yaw).

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6.7 Susp_compression / susp_velocity 진단

\[ \text{susp\_compression}_i = \text{static\_compression}_i + \delta_i, \qquad \text{susp\_velocity}_i = v_{\text{corner},i} - \dot z_{u,i} \]

\(\text{static\_compression}_i = F_{z,i}^{\text{static}} / k_i\) (정적 weight 압축), \(\delta_i\) 는 동적 deviation. compression > static → spring 압축, < static → 신장 (떨림/wheel 들림). ride 분석의 핵심 진단량.

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6.8 Ld2 ↔ Ld3 거동 차이

quasi-static SS yaw rate / Fz 는 Ld2 와 Ld3 가 일치 (분석값 동일). 차이는:

• Transient — Ld3 가 roll overshoot, settle 시간, wheel-hop oscillation 표현.
• dynamic Fz — Ld3 의 Fz 가 매 step spring transient 반영, Ld2 는 quasi-static.

Ld3 의 planar (vx, vy, r) 는 Ld2 와 bit-equal — Ld3 가 Ld2 위에 vertical 만 추가했음을 보장 (§6.11 검증).

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6.9 검증 전략

검증	케이스
Static suspension	at-rest 에서 susp_compression = static_compression
Planar 일치	Ld3 의 vx, vy, r 가 Ld2 와 \(10^{-9}\) 이내
Pose encode	quat 의 roll 추출이 \(\phi_{qs}\) 와 0.02 rad 이내
Roll transient	step steer 의 overshoot + settle
Pitch transient	brake 의 nose dive
Anti-dive	anti 0 vs 0.5 에서 pitch 감소

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6.10 한계

항목	한계	follow-up / chapter
Sprung 6-DOF	small-angle linearized	full nonlinear (Featherstone)
Corner damper	단일 \(c\)	sprung / unsprung 분리
Anti-dive	scalar factor	instant-center 모델
Link friction	무시	bushing nonlinearity (Ld5)
Camber from roll	\(\gamma=0\)	chapter 13-16 (hardpoint)
Tire relaxation	무시	1st-order tire dynamics (ch03)

Ld4-Ld5 (chapter 13-16) 의 본격 multibody 가 위 한계 대부분을 해소한다.

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6.11 다음 chapter 와의 연결

Ld3 까지가 lumped EoM 사다리의 마지막. 이후 chapter 07-10 은 이 plant 위에서 동작하는 control cascade (Lc1-Lc8) 를, chapter 13-16 은 lumped 가정을 푸는 multibody kinematics (Ld4-Ld5) 를 다룬다.

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6.12 참고문헌

• Genta, G. Motor Vehicle Dynamics, §7 lumped 14-DOF.
• Milliken & Milliken, Race Car Vehicle Dynamics, §17 anti-dive/anti-squat.
• Reimpell, J. The Automotive Chassis, §6 suspension kinematics.

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6.13 Self-check

1. roll stiffness 를 corner spring 에서 유도하면서 ARB 만 따로 받는 이유?

corner 변형 $\delta_i = z_s + r_{y,i}\phi - r_{x,i}\theta$ 에 roll arm 을 넣으면 spring/damper 가 roll stiffness $(k_l+k_r)(T_w/2)^2$ 와 roll damping 을 자동 생성 — heave/pitch 와 정합. ARB 는 spring 으로 표현 안 되는 roll 전용 요소라 $K_{\text{ARB}}$ 로 분리한다. 이렇게 해야 spring 과 ARB 를 독립 tune 할 수 있고, 부드러운 spring + 임의의 큰 roll stiffness 같은 비물리 조합을 막는다.

2. wheel-hop peak (11.8 Hz) 이 FFT 에 뚜렷이 안 보이는 이유?

단일 corner damper 가 sprung resonance 기준이라 unsprung 영역에서 $\zeta_u=1.37$ overdamped → hop oscillation 이 감쇠되어 peak 이 묻힌다. damper 를 sprung/unsprung 로 분리하면 해소.

3. anti-dive factor = 1 의 물리적 의미?

brake reaction 이 suspension geometry 를 통해 전부 chassis 로 직접 전달되어 inertia pitch moment 가 0 → 제동해도 nose dive 가 없다. 실차는 보통 0.3-0.6.

4. Ld3 의 SS yaw rate 가 Ld2 와 같은데 Ld3 를 쓰는 이유?

SS 는 동일하나 transient 가 다르다. roll/pitch overshoot, settle 시간, dynamic Fz 변동 등 시간 응답이 필요한 ride/handling 분석에서 Ld3 가 의미를 갖는다.

5. susp_compression < static_compression 이 뜻하는 상태는?

spring 이 정적 상태보다 신장됨 — 해당 corner 가 들리거나(rebound) 떨리는 중. 지속되면 wheel lift / 접지 상실 위험.

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6.14 VDSim 구현 노트

[VDSim impl] § 6.3 — Sprung EoM 코드

derivatives_vertical() 의 corner loop 가 delta = z + ry*phi - rx*th 로 heave/pitch/roll 을 한 번에, roll EoM 은 dphi_dot = (M_roll_spring - K_arb*phi + m_s*ay*h)/Ixx (M_roll_spring = sum ry_i*F_i).

[VDSim impl] § 6.3 — spring-유도 roll stiffness 정량

sedan default 의 axle roll stiffness 는 spring 에서 유도: \((k_l+k_r)(T_w/2)^2 = (30000+30000)\cdot(0.775)^2 \approx 36\) kN·m/rad/axle (front=rear, 총 \(\approx 72\) kN·m/rad). ARB default 0. 이전의 lumped roll_stiffness = 30+25 = 55 kN 보다 오히려 큼 — 구 preset 이 spring 을 과소계상하고 있었다. ARB 를 추가하면 그 위에 roll 전용으로 더해진다.

[VDSim impl] § 6.4 — Unsprung EoM 코드

core/src/fourteen_dof_dynamics.cpp:155-160:

const double k_tire = std::max(1.0, tp_.tire_vertical_stiffness);
for (int i = 0; i < NUM_WHEELS; ++i) {
    const double m_u = std::max(1.0, vp_.unsprung_mass[i]);
    d.dz_u[i]     = zu_dot[i];
    d.dz_u_dot[i] = (- F_susp[i] - k_tire * zu[i]) / m_u;
}

[VDSim impl] § 6.4 — Wheel-hop FFT follow-up

wheel-hop FFT 검증에서 11.8 Hz peak 가 뚜렷하지 않고 ~5 Hz coupled mode 만 보임 — 단일 corner damper 의 unsprung overdamping 탓. follow-up: corner_damper 를 damper_sprung / damper_unsprung 로 분리 (Adams Car 방식).

[VDSim impl] § 6.5 — Vertical RK4 코드

core/src/fourteen_dof_dynamics.cpp:182-238 의 integrate_vertical().

[VDSim impl] § 6.9 — 검증 test

FourteenDOF.* 9 tests: ConstructionAndLevel, StaticSuspensionPopulatedAtRest, CompressionGrowsUnderBrakeOnFront, PlanarMotionMatchesL2Closely (vx,vy,r 가 Ld2 와 \(10^{-9}\)), PoseEncodesRollAndPitch, RollOscillatesAndSettles, PitchTransientUnderBrake, SuspensionVelocityNonZeroDuringTransient, AntiDiveReducesPitchUnderBrake. 전 9 pass.

[VDSim impl] § 6.x — 사용 예제

auto dyn = vdsim::create_fourteen_dof();
dyn->initialize(vp, tp, sp);
// reset / step 은 Ld1/Ld2 와 동일 API
dyn->roll_angle_qs();    // dynamic roll (rad)
dyn->pitch_angle_qs();   // dynamic pitch
dyn->state().susp_compression[WHEEL_FL];
dyn->state().susp_velocity[WHEEL_FL];