02. Rigid-Body Dynamics — Newton-Euler in the Body Frame

Learning objectives

이 chapter 를 마치면 다음을 할 수 있다.

1. body frame 에서의 Newton 방정식이 왜 \(m(\dot v + \omega \times v)\) 형태가 되는지 frame 도함수로부터 유도한다.
2. Coriolis 항 \(\omega \times v\) 가 어디서 오는지, IMU 가 측정하는 양이 \(\dot v_{\text{body}}\) 가 아닌 이유를 설명한다.
3. planar 차량에서 Euler 회전방정식이 \(I_{zz}\dot r = M_z\) 로 줄어드는 과정을 cross 항 소거로 보인다.
4. "3 종류의 \(a_x\)" (frame 도함수 / kinematic / IMU) 를 구분하고, weight transfer 에 들어가는 것이 어느 것인지 판별한다.

Prerequisites

• Chapter 01 — frame 정의, body→world quaternion, 부호 약속.
• 고전역학 — Newton-Euler, 관성 텐서, 각운동량.
• 외부 reference — Genta §3.2-3.3 (body-fixed Newton-Euler), Rajamani §2 (SAE 부호 주의).

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2.1 동기 — 왜 body frame 에서 푸는가

차량의 질량과 관성 텐서는 body 에 고정된 좌표계에서만 시간 불변이다. body 가 yaw 하면 world 좌표 입장에서 차의 관성이 매 순간 회전한다 — 즉 \(I_{\text{world}}(t)\) 가 매 step 마다 변한다. inertial frame 에서 풀려면 이 시간 의존성을 매번 계산해야 한다.

body frame 에서 풀면 \(I_{\text{body}} = \text{const}\) (보통 대각) 이고, 대신 frame 자체가 회전하는 효과를 Coriolis 항 으로 더한다. 그것이 \(\omega \times v\) 와 \(\omega \times (I\omega)\) 다.

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2.2 가정

본 chapter 의 식은 다음 가정 위에서 유도된다.

가정	의미	깨지는 case
Sprung body 단일 강체	sprung + unsprung 을 한 덩어리로	chapter 06 (unsprung 분리), chapter 13 (multibody)
관성 텐서 대각	\(I_{xy}=I_{xz}=I_{yz}=0\) (대칭 차량)	비대칭 적재 (out of scope)
CG 위치 고정	fuel slosh / payload shift 무시	out of scope
Planar (p=q=0) for Ld1/Ld2	roll/pitch DOF 비활성	chapter 06 (Ld3 가 활성)

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2.3 위치 / 속도의 frame 변환

\((i, j, k)\) 를 inertial frame 단위 벡터, \((e_1, e_2, e_3)\) 를 body frame 단위 벡터라 하자. 한 점 P 의 inertial 위치 \(r\) 와 body 위치 \(r_b\):

\[ r = R(t)\, r_b + r_O(t) \]

여기서 \(R(t)\) 는 body→world 회전, \(r_O(t)\) 는 body 원점의 world 위치. 미분:

\[ \dot r = R\, \dot r_b + \dot R\, r_b + \dot r_O \]

강체 운동학의 표준 결과 \(\dot R = R\, [\omega_{\text{body}}]_\times\) (\([\omega]_\times\) 는 skew matrix) 를 대입하면:

\[ \dot r = R\, (\dot r_b + \omega_{\text{body}} \times r_b) + \dot r_O \]

P 가 body 위에 고정 (\(\dot r_b = 0\)) 이고 CG (\(r_b = 0\)) 이면 \(\dot r_{CG} = \dot r_O = v_{\text{world}}\).

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2.4 Body frame 가속도 — Coriolis 항

body frame 속도 \(v_{\text{body}} = R^T v_{\text{world}}\). lab frame 에서 본 도함수와 body frame 자체에서 본 도함수는 다르다.

\[ \left.\frac{d}{dt} v_{\text{world}}\right|_{\text{world}} = R\,(\dot v_{\text{body}} + \omega_{\text{body}} \times v_{\text{body}}) \]

좌변은 inertial 가속도 \(a_{\text{world}}\). 양변에 \(R^T\):

\[ R^T a_{\text{world}} = \dot v_{\text{body}} + \omega_{\text{body}} \times v_{\text{body}} \]

위 그림은 body velocity \(v_{\text{body}}\), yaw rate \(\omega\), 그리고 그 외적이 만드는 centripetal 성분 \(\omega \times v\) 의 관계를 보여준다. 핵심은 차체에 탑승한 관측자(IMU)가 측정하는 가속도가 \(\dot v_{\text{body}} + \omega \times v_{\text{body}}\) 이지 \(\dot v_{\text{body}}\) 가 아니라는 것이다. 이 구분이 §2.7 의 "3 종류의 \(a_x\)" 와 weight transfer 정확도의 근원이다.

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2.5 Newton 방정식 (body frame)

Newton \(m\, a_{\text{world}} = F_{\text{world}}\) 의 양변에 \(R^T\):

\[ m\,(\dot v_{\text{body}} + \omega_{\text{body}} \times v_{\text{body}}) = F_{\text{body}} \]

planar 차량 (\(\omega = (0, 0, r)\)):

\[ \omega \times v_{\text{body}} = (0, 0, r) \times (v_x, v_y, v_z) = (-r v_y,\; r v_x,\; 0) \]

따라서:

\[ \begin{aligned} m\, \dot v_x - m\, r\, v_y &= F_{x,\text{body}} \\ m\, \dot v_y + m\, r\, v_x &= F_{y,\text{body}} \\ m\, \dot v_z &= F_{z,\text{body}} - m g \end{aligned} \]

좌선회 (\(r > 0\)) 에서 \(-r v_y\), \(+r v_x\) 항이 centripetal 가속도의 body-frame 표현이다.

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2.6 Euler 회전방정식 (body frame)

각운동량의 body-frame 도함수도 Coriolis 항을 포함한다.

\[ I_{\text{body}}\, \dot\omega_{\text{body}} + \omega_{\text{body}} \times (I_{\text{body}}\, \omega_{\text{body}}) = M_{\text{body}} \]

\(I_{\text{body}} = \operatorname{diag}(I_{xx}, I_{yy}, I_{zz})\) 가정 시:

\[ \begin{aligned} I_{xx}\, \dot p + (I_{zz} - I_{yy})\, q r &= M_x \\ I_{yy}\, \dot q + (I_{xx} - I_{zz})\, p r &= M_y \\ I_{zz}\, \dot r + (I_{yy} - I_{xx})\, p q &= M_z \end{aligned} \]

planar (\(p = q = 0\)) 이면 cross 항이 모두 0 으로 사라져:

\[ I_{zz}\, \dot r = M_z \]

roll/pitch 가 활성화되는 Ld3 (chapter 06) 에서는 small-angle linearization 으로 \(I_{xx}\ddot\phi\), \(I_{yy}\ddot\theta\) 를 별도로 다루며 cross 항은 무시한다. 본격 multibody (chapter 13) 에서 cross 항을 다시 살린다.

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2.7 세 종류의 \(a_x\) — 자주 혼동되는 정의

차량 동역학에는 이름이 같은 세 가지 가속도가 있다.

	정의	용도
frame velocity 도함수	\(\dot v_x\)	ODE 의 state derivative
kinematic body-x accel	\(a_x = \dot v_x - v_y r = F_x/m\)	weight transfer 의 \(a_x\)
IMU 측정값	\(a_x + g\sin(\text{pitch})\)	센서 모델 (평지면 (2)와 동일)

weight transfer 식 (chapter 04-05) 에 들어가는 것은 (2) kinematic accel \(F_x/m\) 이다. 만약 (1) \(\dot v_x\) 를 쓰면 \(v_y r\) 성분이 빠져, steady-state cornering 에서 lateral transfer 가 0 으로 계산되는 오류가 생긴다. 이 함정의 상세 사례는 §2.10 의 implementation note 에 둔다.

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2.8 모든 모델 사다리의 공통 EoM

\[ \begin{aligned} m\, \dot v_x &= F_{x,\text{total}} + m\, v_y\, r \\ m\, \dot v_y &= F_{y,\text{total}} - m\, v_x\, r \\ I_{zz}\, \dot r &= M_{z,\text{total}} \end{aligned} \]

World 적분 (yaw-only, chapter 01 §1.6):

\[ \dot x_w = v_x \cos\psi - v_y \sin\psi, \quad \dot y_w = v_x \sin\psi + v_y \cos\psi, \quad \dot\psi = r \]

모델 사다리 사이의 차이는 오직 \(F_{x,\text{total}}, F_{y,\text{total}}, M_{z,\text{total}}\) 을 어떻게 구하는가 뿐이다. base EoM 은 동일하다.

사다리	힘/모멘트의 출처
Ld1	per-axle (front, rear) — bicycle
Ld2	per-tire (4) + weight transfer
Ld3	per-tire + dynamic suspension
Ld4	per-tire + multibody kinematic
Ld5	per-tire + multibody compliant

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2.9 검증 전략

검증	식 / 케이스
Coriolis 부호	좌선회에서 \(-r v_y\), \(+r v_x\) 가 centripetal 방향과 일치
planar 축약	\(p=q=0\) 입력 시 Euler 식이 \(I_{zz}\dot r = M_z\) 로 일치
kinematic \(a_x\)	\(F_x/m\) 이 \(\dot v_x - v_y r\) 와 일치
해석 비교	linear bicycle steady-state yaw rate 가 Genta 식과 부호·크기 일치 (±10 %)

세부 test 매핑은 §2.11 의 implementation note 참조.

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2.10 한계

한계	영향	다루는 chapter
관성 텐서 비대각	비대칭 차량의 yaw-roll coupling 누락	out of scope
Euler cross 항 무시 (Ld3)	큰 roll/pitch rate 에서 오차	chapter 13 (full multibody)
CG 고정	fuel slosh / payload	out of scope
1-step lag (kinematic \(a_x\))	transient 동안 small bias	chapter 11 (수치 적분)

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2.11 다음 chapter 와의 연결

base EoM 이 정해졌으므로, \(F\) 와 \(M\) 을 채우는 첫 요소가 타이어다. chapter 03 은 Pacejka Magic Formula 로 slip 으로부터 \(F_x, F_y, M_z\) 를 구하는 방법을 다룬다. 그 힘을 body frame 으로 모아 위 EoM 에 넣으면 Ld1 (chapter 04) 의 single-track 모델이 완성된다.

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2.12 참고문헌

• Genta, G. Motor Vehicle Dynamics, World Scientific, 2014. §3.2 body-fixed reference, §3.3 Newton-Euler.
• Rajamani, R. Vehicle Dynamics and Control, 2^nd ed., Springer, 2012. §2 — SAE 좌표계 주의.
• Featherstone, R. Rigid Body Dynamics Algorithms, Springer, 2008. Ch.2 강체 운동학 — multibody 진입 전 필독.

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2.13 Self-check

1. body frame 에서 EoM 을 푸는 핵심 이점 한 가지는?

관성 텐서 $I_{\text{body}}$ 가 시간 불변 (보통 대각) 이라, 매 step 마다 $I_{\text{world}}(t)$ 를 재계산할 필요가 없다. 대신 frame 회전 효과를 Coriolis 항으로 더한다.

2. IMU 가 측정하는 lateral 가속도는 v̇y 인가 아닌가?

아니다. $\dot v_y + v_x r$ 을 측정한다 (Coriolis 항 포함). 정상상태 선회에서는 $\dot v_y \approx 0$ 이지만 $v_x r$ 이 남아 centripetal 가속도를 측정한다.

3. planar 차량에서 Euler 식이 Izz·ṙ = Mz 로 줄어드는 이유는?

$p = q = 0$ 이면 cross 항 $(I_{zz}-I_{yy})qr$, $(I_{xx}-I_{zz})pr$, $(I_{yy}-I_{xx})pq$ 가 모두 0 이 되어, yaw 식만 $I_{zz}\dot r = M_z$ 로 남는다.

4. weight transfer 식에 v̇x 를 쓰면 어떤 오류가 생기는가?

steady-state cornering 에서 $\dot v_x \approx 0$ 이지만 실제 longitudinal 가속도 $F_x/m = \dot v_x - v_y r$ 은 $-v_y r$ 만큼 존재. $\dot v_x$ 를 쓰면 이 성분이 빠져 lateral weight transfer 가 비현실적으로 작게 나온다.

5. ω × v_body = (−r·vy, r·vx, 0) 에서 좌선회 시 x 성분이 음인 이유는?

좌선회 $r>0$, 정상상태에서 $v_y$ 는 약간 음 (차가 안쪽으로 미끄러짐) → $-r v_y > 0$ 이 아니라 부호는 $v_y$ 에 의존. 핵심은 이 항이 forward 축으로 투영된 centripetal 성분이라는 것 — 순수 $\dot v_x$ 와 분리해야 한다.

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2.14 VDSim 구현 노트

[VDSim impl] § 2.5 — body EoM 코드

core/src/bicycle_dynamics.cpp:208-210:

d_out.dvx = Fx_total / m + vy * r;
d_out.dvy = Fy_total / m - vx * r;
d_out.dr  = Mz_total / Izz;

§2.8 의 base EoM 그대로. 모든 사다리 (Ld1-Ld3) 가 이 형식을 공유한다.

[VDSim impl] § 2.7 — kinematic \(a_x\) 의 명시 저장

core/src/seven_dof_dynamics.cpp:353-354:

d_out.ax_body = Fx_total / m;   // NOT dvx — weight transfer input
d_out.ay_body = Fy_total / m;

weight transfer 에 들어가는 것이 (2) kinematic accel 임을 코드에서 명시. 초기 구현에서 ay_prev = dvy (frame 도함수) 를 저장했다가, 정상상태 선회의 lateral transfer 가 비현실적으로 작게 (수십 N) 나오는 버그가 있었다. Fy/m 로 수정 후 예상 차원 (수천 N) 으로 수렴.

[VDSim impl] § 2.9 — 검증 test

검증	test
linear bicycle steady-state yaw rate vs 해석값	tests/integration/test_bicycle_steady_state.cpp 의 LeftTurnYawRateMatchesAnalytical
body EoM 의 부호 / 차원	동 파일의 step-steer sweep