05. Ld2-SevenDOF (Per-Tire, 7 DOF)

Learning objectives

이 chapter 를 마치면 다음을 할 수 있다.

1. Ld2 가 Ld1 위에 더하는 것 (per-tire Fz, lateral transfer, Ackermann, differential) 을 정확히 열거한다.
2. lateral weight transfer 를 geometric(roll center) + elastic(roll-stiffness 분배) + unsprung 성분으로 분해해 유도한다. roll stiffness 는 corner spring 에서 유도되고 ARB·roll-center 만 입력임을 안다.
3. Ackermann steering geometry 의 inner/outer wheel 각도 식을 유도하고 percent-interpolation 의 의미를 설명한다.
4. Open / Locked / LSD differential 의 torque 분배 메커니즘과 split-mu 거동 차이를 설명한다.
5. linear region 에서 Ld2 ↔ Ld1 이 일치하고 nonlinear 에서 갈라지는 이유를 설명한다.

Prerequisites

• Chapter 04 — single-track, longitudinal transfer, 1-step lag.
• Chapter 02 — body EoM, 3 종류의 \(a_x\).
• Chapter 03 — Pacejka \(F_x, F_y, M_z\).

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5.1 동기 — Ld1 → Ld2

항목	Ld1	Ld2
Wheel count	2 (axle 평균)	4 (per-tire)
Fz	axle static + long	per-tire static + long + lat transfer
Pacejka call	2	4
Wheel spin	2	4 (independent)
Differential	없음	Open / Locked / LSD
Ackermann	평균 δ	per-wheel \(\delta_{\text{inner}}/\delta_{\text{outer}}\)
Steering rack torque	없음	front Mz sum × ratio
Roll/pitch 진단	0	quasi-static estimate

Ld2 는 본격 차량 dynamics validation 의 entry level — ADAS 도메인의 표준 fidelity.

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5.2 가정

가정	의미	깨지는 case
Quasi-static transfer	weight transfer 가 즉시 (suspension transient 없음)	chapter 06 (Ld3 dynamic roll)
1-step lag \(a_y\)	lateral transfer 가 직전 step \(a_y\) 기반	chapter 11 (iteration 옵션)
Symmetric LSD	drive/coast ramp 대칭	실차 LSD 비대칭
Zero camber	roll 로부터 camber 없음 (\(\gamma=0\))	chapter 06
Rigid roll axis	geometric(roll center) + elastic(roll-stiffness 비율) + unsprung 으로 분배	chapter 06 (compliance)
Planar body (no road attitude)	노면 기울기는 force 로만, body 자세로는 X	chapter 06 (Ld3)

노면 기울기와 ladder level (중요)

노면(grade/bank/지형)이 거동에 들어오는 통로는 level 마다 다르다:

• L1 (Bicycle): planar, slope 는 slope-gravity + \(F_z\propto\cos(\text{slope})\) 만. roll/pitch·하중이동 없음.
• L2 (7DOF): roll/pitch 자유도(state)는 없다 (transient 동특성 없음). 그러나 noise 기울기는 두 경로로 들어간다: (1) slope-gravity + \(\cos(\text{slope})\) 수직하중 스케일, (2) quasi-static 하중이동·roll/pitch 추정에 specific force \(a_\text{felt}=a_\text{kin}-g_\text{tangential}\) 를 사용. 일정 bank 직진처럼 \(a_y^\text{kin}\to0\) 이라도 타이어가 중력 횡성분을 받치는 \(a_y^\text{felt}=-g_{y,b}\) 가 남아 bank 에 의한 좌우 하중이동과 quasi-static roll 추정이 생긴다 (예: 8° bank → downhill 측 +660 N, roll≈0.76°). 단 이는 정상상태 대수해이며 차체 자세를 state 로 적분하지 않는다 — transient·실제 attitude state 는 L3 의 몫. 뷰어가 차를 노면에 기울여 그리는 것은 시각 표현이다.
• 자유 coasting incline 은 종방향 하중이동 0 (중력·관성이 CG 에서 상쇄, \(\cos\) 재분배만), 제동/등판 유지 시 종방향 이동 발생 — specific-force 정식화에서 자동.
• CG-migration (jacking): roll \(\phi\) 가 sprung CG 를 횡으로 \((h_{cg}-h_{ra})\sin\phi\) 이동시켜 추가 중력 roll moment 를 만든다 → 유효 roll stiffness 가 \(m_s g_\perp (h_{cg}-h_{ra})\) 만큼 감소 (\(M_\text{roll}\)·종방향 transfer 를 \(1/(1-\varepsilon)\) 로 증폭, \(\varepsilon=m_s g_\perp\,\text{arm}/K\)). pitch 도 동일. sedan flat 코너링 ~6-10%, 8° bank 에서 roll 0.76→0.81°, 횡 transfer 660→696 N. flat 직진은 불변.
• L3 (14DOF): 바퀴별 road_dz 가 unsprung↔노면 tire spring 에 들어가 sprung body 의 roll/pitch 가 노면 평면을 자세로 따라간다 (chapter 06 §6.4). 단 grip \(F_z\) 는 아직 quasi-static (같은 chapter 한계 box).

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5.3 Per-tire Fz — lateral + longitudinal transfer

Static per-tire:

\[ F_{z,f}^{\text{static}} = \frac{m g b}{2 L}, \qquad F_{z,r}^{\text{static}} = \frac{m g a}{2 L} \]

Longitudinal transfer (axle 의 절반):

\[ \Delta F_{z,\text{long,half}} = \frac{m\, a_x\, h_{cg}}{2 L} \]

Lateral transfer — geometric + elastic + unsprung 분해:

\[ \Delta F_{z,\text{lat},f} = \frac{1}{T_{w,f}}\Big[ \underbrace{F_{y,s}\,\tfrac{b}{L}\,h_{rc,f}}_{\text{geometric (jacking)}} + \underbrace{M_{\text{roll}}\, s_f}_{\text{elastic (roll)}} + \underbrace{m_{u,f}\, a_y\, h_{u}}_{\text{unsprung}} \Big] \]

(rear 도 \(a\leftrightarrow b\), \(f\leftrightarrow r\) 대칭). 여기서

\[ F_{y,s} = m_s\, a_y, \quad M_{\text{roll}} = F_{y,s}\,(h_{cg}-h_{ra}), \quad h_{ra} = h_{rc,f}\tfrac{b}{L} + h_{rc,r}\tfrac{a}{L}, \]

\[ s_f = \frac{K_{\phi,f}}{K_{\phi,f}+K_{\phi,r}}, \qquad K_{\phi,\text{axle}} = (k_{\text{left}}+k_{\text{right}})\left(\tfrac{T_w}{2}\right)^2 + K_{\text{ARB}}. \]

핵심: axle roll stiffness \(K_\phi\) 는 corner spring 에서 유도되며 (\(spring \cdot arm^2\)), ARB 는 roll 전용 추가항이다 (입력은 ARB 와 roll-center height 만). \(h_u\) 는 unsprung CG 높이 (\(\approx\) wheel radius).

유도 — geometric vs elastic

lateral force 가 sprung mass 에 작용할 때 전달 경로는 둘로 갈린다. - Geometric (jacking): roll center 를 통해 suspension link 로 즉시 전달되는 성분. roll 을 일으키지 않고 \(F_{y,s}\,h_{rc}/T_w\) 만큼 직접 Fz 차이. - Elastic (roll): roll axis (front/rear roll center 를 잇는 선, CG 아래 높이 \(h_{ra}\)) 둘레의 roll moment \(M_{\text{roll}} = F_{y,s}(h_{cg}-h_{ra})\) 가 두 axle 의 roll spring 에 stiffness 비율 \(s_f\) 로 분배.

front 가 더 stiff (또는 front ARB↑) → front share↑ → front outer 가 더 loaded → understeer 경향. \(h_{rc}=0\) 이면 geometric=0, \(h_{ra}=0\) 으로 elastic-only (\(M_{\text{roll}}=m_s a_y h_{cg}\)) 이 되어 단순 모델로 환원된다.

roll-DOF 없는 L2 가 roll stiffness 를 쓰는 근거 (중요)

elastic 분배 \(s_f = K_{\phi,f}/(K_{\phi,f}+K_{\phi,r})\) 는 sprung mass 의 roll 이 front/rear roll spring 에 분배되는 roll 매개 효과다. L2 는 roll 자유도를 적분하지 않는데 이걸 쓰는 것이 모순처럼 보이지만, 다음으로 정당화된다:

• total transfer (front+rear 합) 은 순수 statics — roll 무관.
• front/rear 분배 는 정상상태에서 실제로 roll-stiffness 비율로 결정된다 (TLLTD, total lateral load transfer distribution — 측정 가능한 실물리량). 따라서 정상상태에서는 근사가 아니라 정확하다.
• L2 는 "roll 이 무한히 빠르게 정상상태로 settle 한다"는 quasi-static roll 가정(§5.2) 하에 그 정상상태 결과만 대수적으로 가져온다. roll 이 없다고 보는 게 아니라 transient 를 무시(즉시 settle)하는 것.
• transient 한계: turn-in 같은 빠른 과도에서 실제 elastic transfer 는 roll 시상수만큼 지연되며 쌓이는데 L2 는 lag 없이 즉시 full split 을 건다 → 과도 구간에서 약간 aggressive. 이 lag 는 roll 을 상태로 갖는 chapter 06 (Ld3) 가 메운다.
• "순수 2D" 를 원하면 분배를 정적하중 \(b/L, a/L\) 로 바꿀 수 있으나, ARB·spring 의 front/rear balance 튜닝(understeer 의 #1 손잡이)이 L2 에서 무력화된다. 본 시리즈는 balance tunability 를 위해 roll-stiffness 분배(TLLTD)를 채택한다.

부호 직관: \(a_y > 0\) (좌선회, centripetal \(+y\)) → 차체가 \(-y\) 쪽으로 기울고 → right side (FR, RR) loaded → \(F_{z,FR} > F_{z,FL}\).

\(a_y\) 의 정확한 정의

lateral acceleration 은 \(a_y = \dot v_y + v_x r = F_y/m\) 이지 frame 도함수 \(\dot v_y\) 가 아니다 (chapter 02 §2.7). 이를 혼동하면 lateral transfer 가 두 자릿수 N 으로 비현실적으로 작아진다. 정량 사례는 §5.13 box.

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5.4 Per-wheel velocity / slip

각 wheel 의 body-frame velocity:

\[ v_{x,\text{body},i} = v_x - r\, r_{y,i}, \qquad v_{y,\text{body},i} = v_y + r\, r_{x,i} \]

wheel 의 body-frame 위치 \((r_{x,i}, r_{y,i})\):

• FL: \((+a, +T_{w,f}/2)\)
• FR: \((+a, -T_{w,f}/2)\)
• RL: \((-b, +T_{w,r}/2)\)
• RR: \((-b, -T_{w,r}/2)\)

(ISO 8855 RH: \(+y\) = leftward → left wheels \(+y\), right wheels \(-y\).)

front wheels 는 추가로 steer \(\delta_i\) (Ackermann 시 wheel 마다 다름) 회전:

\[ v_{x,\text{wheel}} = v_{x,\text{body}}\cos\delta_i + v_{y,\text{body}}\sin\delta_i, \qquad v_{y,\text{wheel}} = -v_{x,\text{body}}\sin\delta_i + v_{y,\text{body}}\cos\delta_i \]

rear: wheel frame = body frame. 이것이 chapter 03 Pacejka input (\(\alpha, \kappa\)) 의 source.

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5.5 Ackermann steering geometry

문제

low-speed cornering 에서 inner/outer wheel 의 path radius 가 다르다. parallel steer (양 wheel 동일 \(\delta\)) 면 inner wheel 이 의도 path 보다 큰 radius 를 그리려 해 불필요한 slip 발생.

Perfect Ackermann

instantaneous center of rotation (ICR) 이 rear axle 연장선과 front steering plane 의 교점. 양 front wheel 의 angle 이 그 ICR 로 align:

\[ R = \frac{L}{\tan\delta_{\text{avg}}}, \qquad R_{\text{inner}} = R - \tfrac{T_{w,f}}{2}, \qquad R_{\text{outer}} = R + \tfrac{T_{w,f}}{2} \]

\[ \delta_{\text{inner}} = \arctan\frac{L}{R_{\text{inner}}}, \qquad \delta_{\text{outer}} = \arctan\frac{L}{R_{\text{outer}}} \]

\(\delta_{\text{inner}} > \delta_{\text{outer}}\) (inner 가 더 꺾임).

Percent-interpolation

\[ f = \frac{\text{ackermann\_percent}}{100}, \qquad \delta_{i,\text{eff}} = \delta + f\,(\delta_{i,\text{ack}} - \delta) \]

• \(0\) → parallel steer (Ld1 호환).
• \(100\) → perfect Ackermann.

차종 default: sedan 60 %, sports 85 %, FSK formula 100 %, race 90 %.

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5.6 Differential model

Open

\[ T_L = T_R = \frac{T_{\text{axle}}}{2} \]

split-mu 면 low-mu side 가 spin up, 차량 traction = lower-mu side 한계.

Locked (spool)

좌우 \(\omega\) 동등화 (실제는 algebraic constraint/DAE). smooth approximation:

\[ \Delta\omega = \omega_L - \omega_R, \quad \text{bias} = 0.45\tanh(2\Delta\omega), \quad T_L = (0.5 - \text{bias})T_{\text{axle}}, \quad T_R = (0.5 + \text{bias})T_{\text{axle}} \]

\(\Delta\omega>0\) (L faster) → bias\(>0\) → R 가 더 받음 (slower wheel gets more torque). 0.45 cap 으로 발산 방지.

LSD

preload + ramp:

\[ \text{mag} = \operatorname{clamp}(\text{preload} + \text{ramp}\cdot|\Delta\omega|,\;0,\;0.45), \quad \text{bias} = \text{mag}\cdot\tanh(2\Delta\omega) \]

sedan default preload 0.10, ramp 0.20. 실차 ramp angle (drive/coast 비대칭) 보다 단순화된 대칭 모델.

split-mu accel 에서 종단 \(\Delta\omega\) ordering: Open > LSD > Locked (정성 정확). 정량은 §5.13 box.

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5.7 Steering rack torque

\[ M_{\text{rack}} = (M_{z,FL} + M_{z,FR}) \cdot \text{steering\_ratio} \]

좌선회 (\(\delta>0\)) 에서 \(M_z>0\) (self-aligning) → rack torque\(>0\) → 운전자가 놓으면 centering. DriverModel force-feedback 통합용.

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5.8 Body force / moment + EoM

\[ \begin{aligned} F_{x,\text{total}} &= \textstyle\sum_i F_{x,\text{body},i} - F_{\text{aero}} - F_{rr} \\ F_{y,\text{total}} &= \textstyle\sum_i F_{y,\text{body},i} \\ M_{z,\text{total}} &= \textstyle\sum_i (r_{x,i} F_{y,\text{body},i} - r_{y,i} F_{x,\text{body},i}) + \textstyle\sum_i M_{z,\text{wheel},i} \end{aligned} \]

\[ m\dot v_x = F_{x,\text{total}} + m v_y r, \quad m\dot v_y = F_{y,\text{total}} - m v_x r, \quad I_{zz}\dot r = M_{z,\text{total}} \]

\[ a_{x,\text{body}} = F_{x,\text{total}}/m, \qquad a_{y,\text{body}} = F_{y,\text{total}}/m \quad (\text{1-step lag input}) \]

per-wheel spin EoM:

\[ I_w\,\dot\omega_i = T_{\text{drive},i} + T_{\text{brake},i} - F_{x,\text{wheel},i}\, R, \qquad I_w = 0.5\, m_{\text{unsprung}}\, R^2 \]

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5.9 검증 전략

검증	케이스
Static Fz	at-rest sum \(= mg\), per-axle 정확
Hard brake	\(F_{z,f} > 1.05\,F_{z,f}^{\text{static}}\)
Left turn	\(F_{z,FR} > F_{z,FL}\), \(F_{z,RR} > F_{z,RL}\)
Ld1↔Ld2 linear	$v_x\le 15,
Differential ordering	split-mu \(\Delta\omega\): Open > LSD > Locked
Ackermann	tight turn 에서 percent \(0\to100\) 시 SS yaw rate 증가

linear region 에서 Ld2≈Ld1, nonlinear (\(v_x=20,\delta=0.10\)) 에서 outer-tire saturation 으로 최대 ~89 % 차이 — Ld2 의 가치는 nonlinear region 에 있다.

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5.10 한계

항목	한계	다루는 chapter
Suspension dynamics	quasi-static (transient 없음)	chapter 06
Roll/pitch dynamic response	1-step estimate 만	chapter 06
Wheel hop / unsprung 진동	없음	chapter 06
Anti-dive / anti-squat	없음	chapter 06
Camber from roll	\(\gamma=0\)	chapter 06

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5.11 다음 chapter 와의 연결

Ld2 는 weight transfer 를 quasi-static 으로 처리한다. chapter 06 (Ld3, 14-DOF) 는 sprung/unsprung mass 를 분리하여 suspension 의 dynamic response (roll/pitch transient, wheel hop, camber) 를 추가한다.

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5.12 참고문헌

• Genta, G. Motor Vehicle Dynamics, §6 per-tire and weight transfer.
• Milliken & Milliken, Race Car Vehicle Dynamics, §6 weight transfer, §15 Ackermann/diff.
• Reimpell, J. The Automotive Chassis, §3 steering geometry.

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5.13 Self-check

1. front roll stiffness 를 키우면 understeer/oversteer 중 어느 쪽?

understeer. front share $s_f$ 증가 → front lateral transfer 증가 → front outer tire 과대 loading → tire saturation 으로 front cornering 능력 저하 → understeer.

2. ay_prev 를 v̇y 로 두면 무슨 일이 생기나?

$a_y = \dot v_y + v_x r$ 인데 $\dot v_y$ 만 쓰면 $v_x r$ centripetal 항이 빠져 lateral transfer 가 수십 N 으로 비현실적으로 작아진다. $a_y = F_y/m$ 로 써야 한다.

3. split-mu 에서 Open diff 가 Locked 보다 traction 이 나쁜 이유?

Open 은 좌우 torque 동일 → low-mu wheel 이 먼저 spin up 하고 high-mu wheel 도 같은 (낮은) torque 만 받음. Locked 는 slower(high-mu) wheel 로 torque 를 몰아줘 traction 확보.

4. parallel steer (0 % Ackermann) 의 low-speed 문제는?

inner wheel 의 필요 steer 각이 outer 보다 큰데 둘이 같으면 inner 가 의도보다 큰 radius 를 그리려 해 slip/타이어 마모 발생. tight/low-speed turn 에서 두드러짐.

5. Ld2 가 Ld1 대비 의미를 갖는 영역은?

nonlinear region. linear 에서는 lateral transfer 효과가 작아 SS yaw rate 가 거의 동일 (≤0.5 %). 고 $a_y$ 에서 outer-tire saturation 이 본격화되며 갈라진다.

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5.14 VDSim 구현 노트

[VDSim impl] § 5.3 — Lateral transfer 코드

core/src/seven_dof_dynamics.cpp:158-176:

const double Kf = axle_roll_stiffness(vp_, 0);   // (k_l+k_r)*(tw/2)^2 + ARB
const double Kr = axle_roll_stiffness(vp_, 1);
const double h_ra  = hrc_f * (b/L) + hrc_r * (a/L);
const double Fys   = vp_.mass_sprung * ay_prev_;
const double Mroll = Fys * (h_cg - h_ra);
const double dFz_lat_f = (Tw_f > 1e-3)
    ? (Fys*(b/L)*hrc_f + Mroll*(Kf/(Kf+Kr)) + m_uf*ay_prev_*R) / Tw_f : 0.0;
Fz[WHEEL_FL] = Fz_static_f - dFz_long_half - dFz_lat_f;
Fz[WHEEL_FR] = Fz_static_f - dFz_long_half + dFz_lat_f;

3-성분(geometric+elastic+unsprung). +dFz_lat_f 가 FR 에 더해져 좌선회 시 \(F_{z,FR}>F_{z,FL}\) 부호 정확. roll stiffness 는 spring 에서 유도되며 ARB·roll-center 만 입력.

[VDSim impl] § 5.3 — ay 정의 버그 history

초기 구현이 ay_prev = k.dvy (frame 도함수). 격자 sweep 에서 lateral transfer 가 37 N 으로 비현실적 (예상 ~2000 N). ay_prev = Fy_total/m 로 수정 후 3693 N 으로 수렴. chapter 02 §2.7 "3 종류 ax" 의 실전 사례. core/src/seven_dof_dynamics.cpp:353-354 의 ax_body/ay_body 가 명시적으로 Fx/m, Fy/m.

[VDSim impl] § 5.5 — Ackermann 코드

core/src/seven_dof_dynamics.cpp:212-228. 좌선회 (\(\delta>0\)) 시 inside=FL, outside=FR. 검증: tight turn (\(R=20, v_x=2, \delta=0.35\)) 에서 percent \(0\to100\) 시 SS yaw rate +37 %.

[VDSim impl] § 5.6 — Differential 검증

split-mu accel 종단 \(\Delta\omega\): Open 0.605, LSD 0.353, Locked 0.207 rad/s. 정성 ordering 일치.

[VDSim impl] § 5.7 — Rack torque 코드

core/src/seven_dof_dynamics.cpp:114-117:

double steering_rack_torque() const override {
    return (mz_front_sum_ * vp_.steering_ratio);
}

[VDSim impl] § 5.9 — 검증 test

SevenDOF.* 18 tests: ConstructionAndLevel, AtRestStaticFz, HardBrakeLoadsBothFrontWheels, LeftTurnLoadsRightWheels, SmallSteerYawRateMatchesBicycle, AeroDownforceIncreasesFzAtSpeed, OpenDifferentialSplitMu, LockedDifferentialReducesSpread, LSDBetweenOpenAndLocked, AckermanInfluencesTurningRadius, AckermanZeroReproducesBaseline, RollAngleSignAndScale, PitchAngleSignDuringBrake, SteeringRackTorqueSignOpposesSteer, IndependentWheelSpinUnderSplitMu 외. 전 18 pass.