03. Tire Model — Pacejka Magic Formula 1996¶

Learning objectives¶

이 chapter 를 마치면 다음을 할 수 있다.

Magic Formula F(s) = D sin(C atan(B s − E (B s − atan(B s)))) 의 각 계수 B / C / D / E 의 물리적 역할을 독립적으로 설명한다.
Pure-slip 모델과 combined slip 의 차이를 friction-ellipse rescale 의 가정 위에서 유도한다.
Aligning moment Mz 와 pneumatic trail t_p 의 정의로부터 self-aligning 효과를 부호와 함께 설명한다.
Load sensitivity / relaxation length / camber thrust 의 세 가지 확장이 어떤 실험적 현상을 모델링하는지 안다.
MF96 simple form 과 MF2002 full form 의 trade-off (parameter 수, 발산 처리, 구현 복잡도) 를 비교한다.

Prerequisites¶

Chapter 01 — slip angle α / slip ratio κ 의 ISO 8855 정의.
Chapter 02 — body frame 의 force / moment 합산.
외부 reference — Pacejka §4 (Magic Formula derivation), Milliken & Milliken §2 (tire force fundamentals).

3.1 동기 — 타이어가 비선형 핵심인 이유¶

차량 동역학은 본질적으로 타이어 한계 동역학이다. 정상 운전 (linear region) 에서는 거의 모든 차량이 비슷하게 거동한다. cornering / brake / traction 한계는 모두 타이어의 비선형 saturation 에서 결정된다.

vehicle dynamics 의 sensitivity 를 비교해 보면, mass / wheelbase / aero 보다 tire 의 (D, μ, Cα) 에 훨씬 강하게 의존한다. Pacejka 가 타이어 modeling 에 한 평생을 쓴 이유다.

Pacejka Fy-alpha + friction ellipse

위 그림은 본 시리즈가 채택한 Pacejka 모델의 실제 출력이다. load sensitivity (Fz = 8 kN 의 peak 가 4 kN 의 1.7 배 — 선형이면 2 배) 와 friction ellipse 의 boundary saturation 이 함께 보인다.

3.2 가정¶

본 chapter 의 모든 식은 다음 가정 위에서 유도된다.

가정	의미	깨지는 case
Quasi-static (instantaneous slip → force)	linear region 의 정상 모델	step steer / brake 의 transient (§3.9)
Combined slip = friction ellipse	pure-slip case 의 backward-compat 보장	MF2002 의 unified `σ_x, σ_y`
Constant μ over temperature	tire warming 무시	race / endurance
Camber `γ` 는 외부 입력 (forward only)	suspension geometry → tire force 단방향	Compliance 가 force → camber 로 되먹임
Aligning moment = `−t_p · Fy + camber 보정`	pneumatic trail 의 단순 falloff	MF2002 의 residual `Mzr`
Load sensitivity 선형 (`μ_eff(Fz)` linear)	reference Fz 부근 양호	극단 Fz 의 non-linear curve

가정이 깨지는 case 의 모델 확장은 §3.11 한계 표에서 정리한다.

3.3 Magic Formula 의 모양¶

기본형:

\[ F(s) = D \sin\!\Big( C \arctan\big( B s - E (B s - \arctan(B s)) \big) \Big) \]

여기서 s 는 입력 — lateral 의 경우 slip angle α, longitudinal 의 경우 slip ratio κ. (이 simplified BCDE 형 외에, 실측 .tir 계수셋을 쓰는 full MF2002 평가기가 §3.16 에 있다.) 네 계수의 역할:

계수	역할	단위 / 영향
`D`	peak force amplitude	`D = D_param · F_z · μ`
`B`	stiffness factor	linear-region slope = `B · C · D`
`C`	shape factor	곡선의 폭 / 비선형 정도
`E`	curvature factor	peak 주변의 형상

왜 `sin(atan(...))` 인가¶

atan(B·s) 는 s → ∞ 에서 π/2 로 saturate. sin(C · π/2) 가 1 이면 peak 위치 결정. 두 함수를 합치면 다음 세 성질을 한 식으로 표현한다:

작은 s 에서 linear (slope = B·C·D),
peak 후 자연스러운 descent (sliding 영역),
D 가 peak 값.

타이어의 force-slip 곡선은 작은 slip 에서 linear, 중간에서 peak, 큰 slip 에서 sliding 영역으로 감소한다. sin(atan) 이 이 모양을 4 parameter 로 표현하는 가장 간결한 함수 family.

`E` 항의 역할¶

B s − E (B s − arctan(B s)) 의 두 번째 항 (B s − arctan(B s)) 는 s > 0 영역에서 항상 양수 (atan 이 항상 더 작음).

E < 1 이면 inner argument 가 커져서 peak 가 더 sharp.
E > 1 이면 over-saturation — 일부 race tire 의 sharp peak 표현.

3.4 ISO 8855 lateral 의 부호¶

Pacejka 의 lateral 식을 ISO 8855 RH 부호 약속과 일치시키면:

\[ F_y(\alpha) = -D \sin\!\Big( C \arctan\big( B\alpha - E (B\alpha - \arctan(B\alpha)) \big) \Big) \]

leading minus 부호의 정당화:

α > 0 (좌선회 시 wheel velocity 가 wheel frame 의 +y 쪽으로 기울어진 상황)
타이어가 restoring force 를 −y 방향으로 생성 → Fy < 0
즉 leading minus 가 ISO 8855 좌선회의 restoring 부호를 자동 부여

SAE J670 convention 의 책 (Rajamani 등) 은 같은 좌선회의 α 부호가 반대이므로 leading minus 없이도 동일한 부호 결과가 나오게 식이 짜여 있다. 외부 식을 옮길 때는 ISO 8855 / SAE 식별을 항상 우선 확인한다.

3.5 Combined slip — friction ellipse rescale¶

문제¶

Pure-slip 의 Fx(κ) 와 Fy(α) 가 동시에 비-zero 일 때, 단순 합 (Fx, Fy) 의 크기가 friction circle 의 한계 μ · Fz 를 넘을 수 있다. 실제 타이어는 합력이 friction limit 내부에 머무르므로 어떤 cap 이 필요하다.

해법 — friction-ellipse rescale¶

각 축의 peak:

\[ F_{x,\max} = D_{\text{long}} F_z \mu_{\text{long}}, \qquad F_{y,\max} = D_{\text{lat}} F_z \mu_{\text{lat}} \]

Pure-slip force (F_{x,\text{pure}}, F_{y,\text{pure}}) 의 normalized magnitude:

\[ r^2 = \left(\frac{F_{x,\text{pure}}}{F_{x,\max}}\right)^2 + \left(\frac{F_{y,\text{pure}}}{F_{y,\max}}\right)^2 \]

Rescale rule:

\[ (F_x, F_y) = \begin{cases} (F_{x,\text{pure}}, F_{y,\text{pure}}) & r^2 \le 1 \\[4pt] \dfrac{1}{r}\,(F_{x,\text{pure}}, F_{y,\text{pure}}) & r^2 > 1 \end{cases} \]

(Fx_max = Fy_max) 이면 circle, 일반적으로 ellipse. 내부면 그대로 두고, 외부면 가장 가까운 ellipse boundary 로 끌어당긴다.

왜 단순 rescale 이 OK 인가¶

Pure-slip case (κ = 0 또는 α = 0) 에서는 한 축의 force 가 0 이라 r² ≤ 1 이 항상 보장 → rescale 발생 안 함. 즉 friction-ellipse rescale 은 모든 pure-slip 식의 backward-compat 을 깨지 않는다.

MF2002 의 unified 모델 (비교)¶

MF2002 는 normalized slip σ_x = κ / (1 + κ), σ_y = tan(α) / (1 + κ) 으로 통합한 한 식으로 푼다. 더 정확하지만:

κ = -1 의 brake-locked 발산 처리 필요,
파라미터가 5 개 추가,
구현 복잡도가 크게 증가.

MF96 + friction-ellipse rescale 은 단순 모델이 충분한 영역의 합리적 trade-off.

Mz aligning moment + Fx longitudinal

3.6 Aligning moment `Mz`¶

정의¶

타이어가 받는 lateral force Fy 의 application point 가 contact patch 중심에서 t_p (pneumatic trail) 만큼 뒤에 있다. 즉:

\[ M_{z,\text{wheel}} = -t_p(\alpha) \cdot F_y \]

부호 확인 — α > 0 일 때 Fy < 0 (§3.4) → Mz > 0 (위에서 본 CCW). 즉 wheel 이 α 가 줄어드는 방향으로 회전하는 self-aligning 모멘트.

`t_p` 의 falloff¶

low α 영역: t_p ≈ t_{p,0} (constant, 보통 약 50 mm). α 가 커지면 contact patch 의 pressure distribution 이 앞쪽으로 이동 → t_p 감소. 본 시리즈의 채택:

\[ t_p(\alpha) = \frac{t_{p,0}}{\sqrt{1 + (\alpha / \alpha_{\text{falloff}})^2}} \]

이는 cos(arctan(α / α_falloff)) 와 등가. 단순하지만 textbook 의 일반 trend (α 작을 때 거의 일정, 큰 α 에서 단조 감소) 를 잘 표현한다.

차량 yaw moment 로의 합산¶

Mz_wheel 은 steering 시스템을 통해 chassis 의 yaw moment 에 더해진다. 차량 body frame 의 총 yaw moment:

\[ M_{z,\text{body}} = \underbrace{\sum_i \big(r_{x,i} F_{y,\text{body},i} - r_{y,i} F_{x,\text{body},i}\big)}_{\text{force translation}} + \underbrace{\sum_i M_{z,\text{wheel},i}}_{\text{per-tire intrinsic } M_z} \]

첫 항이 wheel 위치의 lever arm 효과, 두 번째 항이 per-tire self-aligning 의 합. linear-bicycle 의 해석해는 두 번째 항을 무시하므로, simulator vs analytical 차이가 \(M_z\) 만큼 발생하는 것은 model-mismatch (구현 bug 아님).

3.7 Camber thrust 와 camber `Mz`¶

정의¶

Wheel 이 vertical 에서 γ 만큼 기울었을 때 추가 lateral force 가 생성된다.

\[ F_{y,\text{camber}} = -C_\gamma \cdot \gamma \cdot F_z \cdot \mu_{\text{lat}} \]

C_γ 는 camber stiffness coefficient. γ 양의 부호는 wheel 의 top 이 vehicle center 쪽으로 기우는 방향 (ISO 8855).

Camber 가 `Mz` 에도 기여¶

Camber thrust 의 application point 도 contact patch 중심에서 약간 벗어나 작은 aligning moment 를 만든다.

\[ M_{z,\text{camber}} = -t_{p,0} \cdot k_{\text{camber-arm}} \cdot C_\gamma \cdot \gamma \cdot F_z \cdot \mu \]

k_camber-arm ≈ 0.25 가 contact patch 길이의 약 ¼ (실험적 근사). 결과:

\[ M_{z,\text{total}} = -t_p(\alpha) \cdot F_y + M_{z,\text{camber}} \]

γ 에 anti-symmetric — ±γ 가 ∓ M_z 를 만들고, α = 0 에서도 γ ≠ 0 이면 Mz ≠ 0.

`γ` 의 source¶

γ 는 tire model 의 외부 입력. 어디서 오는가는 dynamics 사다리에 따라 다르다:

모델	`γ` source
Ld1 (bicycle, chapter 04)	`γ = 0` 고정
Ld2 (7-DOF, chapter 05)	legacy: `camber_per_roll · φ` 의 roll-linear 근사 또는 `γ = 0`
Ld3 (14-DOF, chapter 06)	suspension travel + camber gain table
Ld4 (hardpoint, chapter 14)	hardpoint kinematics 의 정확 계산

즉 chapter 14 의 hardpoint kinematics 가 attach 되면 geometry-driven camber 가 가능하고, 안 되면 legacy fallback. tire model 자체는 input γ 를 받아 forward 계산할 뿐 source 와 무관하다.

3.8 Load sensitivity — `μ` 가 `Fz` 에 따라 감소¶

실제 타이어는 수직 하중이 클수록 단위 하중당 grip 이 감소한다 (rubber 의 load sensitivity). 모델:

\[ \mu_{\text{eff}}(F_z) = \mu_{\text{nominal}} \cdot \Big(1 - k_{\text{load}} \cdot (F_z / F_{z,\text{nominal}} - 1)\Big) \]

극단 Fz 에서 수치 안정 위해 μ_eff ≥ 0.3 · μ_nominal 의 floor 적용. 결과:

Fz = Fz_nominal 이면 μ_eff = μ_nominal.
Fz > Fz_nominal 이면 grip 감소 → cornering 시 외측 wheel 이 안쪽보다 상대적으로 덜 받쳐줌 → 자연스러운 lateral load transfer 효과의 일부.
k_load = 0 이면 legacy (peak 가 Fz 에 비례).

전체 force 식에 통합:

\[ \begin{aligned} F_x &= (D_{\text{long}} F_z \mu_{\text{eff,long}}) \sin(C_{\text{long}} \arctan(\cdots)) \\ F_y &= -(D_{\text{lat}} F_z \mu_{\text{eff,lat}}) \sin(C_{\text{lat}} \arctan(\cdots)) \end{aligned} \]

μ_long, μ_lat 는 contact point 에서 받는 surface friction (per wheel) — 노면 변화 (icy patch 등) 표현.

3.9 Relaxation length — slip 의 1차 지연¶

Quasi-static 모델은 slip 이 바뀌면 force 가 즉시 따라간다. 실제 타이어는 carcass 변형 때문에 일정 rolling distance σ 만큼 지연된다 (relaxation length).

Transient slip 의 1차 ODE¶

Transient slip angle α_dyn 이 geometric slip α_geom 을 1차 시스템으로 추종:

\[ \frac{\sigma}{|v_{\text{long}}|}\,\dot\alpha_{\text{dyn}} = \alpha_{\text{geom}} - \alpha_{\text{dyn}} \]

Force 는 α_dyn 으로 계산 (instantaneous α 가 아니라). 시상수 τ = σ / |v| 이므로, 속도가 빠를수록 더 빠르게 build-up.

Closed-form substep update¶

Substep h 동안 α_geom 이 상수라 가정하면 closed-form 적분이 가능하다:

\[ \alpha_{\text{dyn}}(t+h) = \alpha_{\text{geom}} + \big(\alpha_{\text{dyn}}(t) - \alpha_{\text{geom}}\big)\, e^{-|v|\,h/\sigma} \]

이는 explicit Euler 보다 안정적이고, large h 에서도 발산하지 않는다.

구현 위치¶

Relaxation 의 state (α_dyn) 는 tire model 이 아니라 host dynamics 에 둔다. 즉 ITireModel::compute 는 stateless 를 유지하고, dynamics 가 매 substep α_dyn 을 업데이트 한 후 tire model 에 넘긴다. 이렇게 하면 tire model 의 thread safety 와 reentrancy 가 유지된다.

Alternative (VDSim opt-in): Chapter 19 (LuGre / brush-dynamic tire) replaces the algebraic slip map with bristle states \(z\) and uses MF96 as the steady envelope \(g(\cdot)\). It can subsume both quasi-static slip and low-speed stick without a kinematic blend when lugre.enabled: true.

3.10 검증 전략¶

본 chapter 의 식은 다음과 같이 자동 검증한다.

검증	식 / 케이스
Boundary	`α = 0 → Fy = 0`, `Fz = 0 → F = 0`
Linear-region slope	`α = 1e-4` 에서 `Fy / α ≈ −B·C·D·Fz·μ` (±1 %)
부호 약속	`α > 0 → Fy < 0`, `κ > 0 → Fx > 0` (§3.4)
Peak bound	sweep `[-0.5, 0.5]` 에서 `\|Fy\| ≤ Fz · μ · D_lat · (1 + ε)`
μ 스케일	linear region 에서 `Fy ∝ μ`
Fz 스케일 (linear region)	`Fz/2 → Fy/2`
Friction ellipse bound	combined slip 격자 sweep 에서 `(Fx/Fmax)² + (Fy/Fmax)² ≤ 1 + ε`
Pure-slip backward-compat	combined flag 토글이 pure case 의 force 안 바꿈
Mz 의 부호 / 영점	`α = 0 → Mz_no-camber = 0`, `sign(Mz) = -sign(Fy)`
Mz linear region	`α = 1e-4` 에서 `Mz ≈ -t_p · Fy`
Mz 의 falloff	`\|Mz/Fy\|_large_α < \|Mz/Fy\|_small_α`
Camber Fy 가산	`γ ≠ 0, α = 0` 에서 `Fy_camber ≠ 0`
Load sensitivity	`Fz = 2·Fz_nominal` 에서 Fy ratio < 2 (default config 에서 ≈ 1.6)
Relaxation 지연	step `α_geom` 입력 시 `t = σ/v` 에서 `Fy < 0.85 · Fy_steady`

세부 unit test 매핑은 §3.14 implementation note 참조.

3.11 한계¶

항목	본 모델	한계
Combined slip	friction-ellipse rescale	MF2002 의 unified σ_x, σ_y 가 더 정확
Aligning moment	`−t_p · Fy + Mz_camber`	MF2002 의 residual Mzr 누락
Camber	linear `Fy_camber`, linear `Mz_camber`	non-linear (peak μ 의 camber 의존)
Load sensitivity	linear `μ_eff(Fz)`	non-linear load curve
Transient	lateral 만 1차 relaxation	longitudinal relaxation 누락; see Ch.19 LuGre brush
`γ` source	Ld4 hardpoint kinematics 가 forward 계산	force → camber 의 compliance feedback 없음
Temperature	constant μ	tire warming, thermal evolution
Fz peak shift	constant B/C/E, μ_eff 만 Fz 의존	Fz-dependent B/C/E
Camber-Fx	무시	일부 race tire 에서 의미

3.12 다음 chapter 와의 연결¶

Tire force model 이 정의되었으므로, chapter 04 (Ld1 bicycle) 에서 이 model 을 single-track + per-axle Fz 에 통합한다. 본 chapter 의 (F_x, F_y, M_z) 가 wheel frame 에서 정의되었음을 기억하고, chapter 04 에서 body frame 으로 회전시켜 사용한다.

Chapter 05 (Ld2 7-DOF) 부터는 per-wheel tire model 을 4 번 호출하고 lateral load transfer + Ackerman + differential 을 결합한다. Camber 의 source 는 chapter 06 (Ld3) 또는 chapter 14 (Ld4 hardpoint).

3.13 참고문헌¶

Pacejka, H.B. Tire and Vehicle Dynamics, 3^rd ed., Butterworth-Heinemann, 2012. §4 (Magic Formula derivation), §6 (Combined slip), §7 (Mz, Mzr).
Genta, G. Motor Vehicle Dynamics, World Scientific, 2014. §3.4-3.6 (tire models survey).
Milliken, W.F. & Milliken, D.L. Race Car Vehicle Dynamics, SAE International, 1995. §2 (tire force fundamentals, empirical 관점).

3.14 Self-check¶

1. B / C / D / E 중 linear-region slope 와 peak force 에 각각 영향을 주는 것은?

- linear-region slope = `B · C · D`. 세 계수가 모두 곱으로 들어간다. - peak force = `D`. peak 의 절대값은 `D = D_param · F_z · μ` 에 의해서만 결정. - `E` 는 peak 부근의 형상만 변화 (sharp 한지 round 한지).

2. ISO 8855 RH 에서 Fy 식의 leading minus 가 정당화되는 부호 추적 과정은?

좌선회 → `α > 0` (§1.5 의 부호 직관). 타이어가 restoring force 를 `-y_wheel` 방향으로 생성하므로 `Fy < 0` 이어야 함. Magic Formula 의 `sin(C atan(...))` 의 inner 가 `α > 0` 에서 양수이므로, 그 자체로는 `Fy > 0`. ISO 의 부호 약속과 맞추기 위해 leading minus 가 필요. SAE Y-right convention 의 책에서는 같은 좌선회의 `α` 가 음수이므로 leading minus 없이 동일한 결과가 나오게 식이 짜여 있다.

3. Friction-ellipse rescale 이 pure-slip case 에서 backward-compat 한 이유는?

Pure-slip 은 `κ = 0` 또는 `α = 0` 의 case. 한 축의 pure force 가 0 이라 `r²` 의 한 항이 0. 다른 항 (예: `Fy_pure / Fy_max`) 은 individual peak 에 의해 정의상 `|·| ≤ 1`. 즉 `r² ≤ 1` 이 항상 성립 → rescale 발생 안 함.

4. Mz 가 self-aligning 인 이유를 부호 단계별로 추적하면?

1. 좌선회 → `α > 0`. 2. `Fy < 0` (§3.4 의 leading minus). 3. `Mz_wheel = -t_p · Fy = -t_p · (음수) = 양수`. 4. 위에서 본 CCW (`+Mz`) → wheel 을 `α` 가 줄어드는 방향으로 (즉 vehicle 의 진행 방향으로 다시 align) 회전시킴. 따라서 자체적으로 `α` 를 0 쪽으로 회복시키는 *self-aligning* 효과.

5. Relaxation length σ 의 시상수가 v 에 따라 어떻게 변하나? 왜?

`τ = σ / |v_long|`. 즉 **속도가 빠를수록 시상수가 짧고 force build-up 이 빠름**. 이유: relaxation 은 "carcass 가 rolling distance `σ` 만큼 굴러야 force 가 80 % 도달" 의 *거리* 단위 지연. 같은 거리를 통과하는데 걸리는 시간이 속도의 역수. 따라서 `τ ∝ 1/v`. 직관: 시속 60 km/h 에서 step steer 시 약 36 ms 의 lag, 시속 30 km/h 에서 같은 maneuver 의 lag 가 두 배.

3.15 VDSim 구현 노트¶

본 chapter 의 모델을 VDSim 코드가 따르는 방식. 본문 의존 없이 skim 가능.

[VDSim impl] § 3.3 — Default coefficient (default_pacejka.yaml)
B_long = 10.0,  C_long = 1.65,  D_long = 1.0,  E_long = +0.97
B_lat  =  8.0,  C_lat  = 1.30,  D_lat  = 1.0,  E_lat  = -1.00
E_lat = −1 가 음수인 이유: lateral 곡선이 peak 후 더 sharp 하게 떨어지도록.

[VDSim impl] § 3.4 — Pacejka MF96 본체 코드

core/src/pacejka_mf96.cpp:42-48:
{
    const double s   = in.alpha;
    const double t   = tp_.B_lat * s;
    const double phi = t - tp_.E_lat * (t - std::atan(t));
    out.Fy = -Dy * std::sin(tp_.C_lat * std::atan(phi));
}
[VDSim impl] § 3.6 — Mz aggregation 코드

core/src/seven_dof_dynamics.cpp:336-340:
for (int i = 0; i < NUM_WHEELS; ++i) {
    Mz_total += r_x[i] * F_body[i].y() - r_y[i] * F_body[i].x();
}
for (int i = 0; i < NUM_WHEELS; ++i) {
    Mz_total += mz_wheel[i];
}
step_steer 의 SS yaw rate 가 analytical (Mz 무시) 대비 약 2.6 % 감소 (model-mismatch, bug 아님).

[VDSim impl] § 3.7 — Camber 의 Ld4 연결 경로

Ld3 (fourteen_dof_dynamics.cpp) 가 매 substep per-wheel travel 을 ISuspensionKinematics::compute 로 보내 γ 를 받음.

inner_->set_camber_per_wheel(γ) 로 Ld2 (seven_dof_dynamics.cpp) 에 전달.

Ld2 가 Pacejka in.gamma = camber_ext_[i] 로 호출.

Hardpoint kinematics 가 attach 안 됐으면 legacy fallback (camber_per_roll · φ) 또는 γ = 0. Backward-compat 유지 + geometry-driven camber 가능. 상세: chapter 14 §14.8.

[VDSim impl] § 3.8 — Load sensitivity config

default_pacejka.yaml:
load_sensitivity: 0.15
Fz_nominal:       4000
검증 LoadSensitivityFadeAtHighFz: 2 · Fz 에서 Fy ratio = 1.6 (선형이면 2.0).

[VDSim impl] § 3.9 — Relaxation length config + state

default_pacejka.yaml:
relaxation_length_lat: 0.6
시상수 = σ / v → v = 15 m/s 에서 τ ≈ 40 ms.

3.16 Full Magic Formula (`.tir`) — measured-data path¶

본 chapter 의 식들은 simplified MF96 형(BCDE 4-계수 + friction-ellipse)이다. 한계주행·실측 대응이 필요하면 VDSim 은 full Magic Formula (Pacejka 2002 / MF-Tyre 5.2 coefficient set) 평가기를 별도로 제공한다 — 표준 .tir property 파일을 읽어 pure + combined slip \(F_x, F_y\) 와 aligning \(M_z\) 를 평가.

generic 구조 (계수 값이 아니라 식 형태만 — 값은 §보안 주의):

pure slip: 각 방향이 같은 BCDE 형이되 계수가 \(F_z\)·camber 의존 다항식 (\(p_{Dx1}, p_{Dx2}, p_{Ky1}, \dots\)). \(D = \mu(F_z)\,F_z\), \(B = K/(C D)\) 등.
combined slip: pure \(F_{x0}, F_{y0}\) 에 가중함수 \(G_{x\alpha}, G_{y\kappa}\) 와 \(S_{Vy\kappa}\) 를 곱해 상호 영향을 표현 (friction-ellipse 의 일반화).
aligning \(M_z\): pneumatic trail \(t(\alpha)\) + residual \(M_{zr}\) + 등가 slip, \(M_z = -t\,F_y + M_{zr}\).
scaling coefficients (\(\lambda\)): 계수셋을 일괄 보정.
turn-slip·inflation·thermal block 은 범위 밖 (isothermal coefficient set).

파서는 계수를 이름→값 map 으로 저장(대소문자 무시)해 어떤 optional 계수가 있든 agnostic; 평가기는 이름으로 default 와 함께 pull 한다.

[VDSim impl] § 3.16 — full MF 코드 + 보안

core/include/vdsim/magic_formula.hpp, core/src/magic_formula_tire.cpp: parse_tir() → MFCoeffs, create_magic_formula_tire(coeffs) / create_magic_formula_tire_from_tir(path). Ld1/Ld2/Ld3 factory 에 create_*_from_tir(path) 로 주입.

보안: .tir 의 계수 값은 대외비일 수 있다. .tir 파일과 계수 dump 는 repo 밖(.gitignore)에 두고, 소스에는 평가 식만 존재한다.

State 위치: tire model 이 아니라 host dynamics. seven_dof_dynamics 와 bicycle_dynamics 의 멤버 alpha_dyn_[4]. tire compute() 는 stateless 유지. 검증 RelaxationLengthDelaysLateralForce: t = σ/v 시점 Fy 가 instant 대비 < 85 %.

[VDSim impl] § 3.10 — Tire API 사용 패턴
ITireModel::Input in;
in.Fz       = Fz_axle / 2;       // per tire
in.kappa    = (R * omega - vx_wheel) / std::max(std::abs(vx_wheel), 0.5);
in.alpha    = std::atan2(vy_wheel, vx_wheel);
in.mu_long  = contact.mu_long;
in.mu_lat   = contact.mu_lat;
in.Vx_wheel = vx_wheel;
in.gamma    = 0.0;               // Ld2-Ld3: 0, Ld4+: kinematics-driven

const auto F = tire_->compute(in);
// F.Fx, F.Fy in wheel frame. steered wheel 은 body frame 으로 회전.
이 호출이 차량 EoM 의 모든 lateral / longitudinal force 의 source.

[VDSim impl] § 3.10 — 검증 unit test

검증 test 파일 / 케이스

Boundary, linear region, 부호 tests/unit/test_tire_models.cpp 의 ZeroSlipZeroForce, ZeroFzZeroForce, LinearRegionLateralSlope, LinearRegionLongitudinalSlope, SignConventions

Peak bound, μ / Fz 스케일 PeakBoundedByFzMu, MuScalesLinearly, FzScalesLinearlyInLinearRegion

Friction ellipse PacejkaCombinedFixture::FrictionEllipseBound (1024 점, ±1e-9)

Pure-slip backward-compat PureSlipUnchangedByCombinedFlag

Mz MzZeroWhenAlphaZero, MzSignOppositeFy, MzLinearRegionMatchesPneumaticTrail, MzDecreasesAtLargeAlpha

Camber CamberAddsLateralForce, CamberContributesToMz, CamberZeroByDefault

Load sensitivity LoadSensitivityFadeAtHighFz

Relaxation RelaxationLengthDelaysLateralForce

검증	test 파일 / 케이스
Boundary, linear region, 부호	`tests/unit/test_tire_models.cpp` 의 `ZeroSlipZeroForce`, `ZeroFzZeroForce`, `LinearRegionLateralSlope`, `LinearRegionLongitudinalSlope`, `SignConventions`
Peak bound, μ / Fz 스케일	`PeakBoundedByFzMu`, `MuScalesLinearly`, `FzScalesLinearlyInLinearRegion`
Friction ellipse	`PacejkaCombinedFixture::FrictionEllipseBound` (1024 점, ±1e-9)
Pure-slip backward-compat	`PureSlipUnchangedByCombinedFlag`
Mz	`MzZeroWhenAlphaZero`, `MzSignOppositeFy`, `MzLinearRegionMatchesPneumaticTrail`, `MzDecreasesAtLargeAlpha`
Camber	`CamberAddsLateralForce`, `CamberContributesToMz`, `CamberZeroByDefault`
Load sensitivity	`LoadSensitivityFadeAtHighFz`
Relaxation	`RelaxationLengthDelaysLateralForce`