13. Multibody (Ld4-Ld5) — Overview¶

Learning objectives¶

이 chapter 를 마치면 다음을 할 수 있다.

lumped 14-DOF (Ld3) 가 표현 못 하는 것 (wheel kinematics, compliance, topology 차이) 을 열거한다.
hardpoint + joint + bushing abstraction 이 임의의 suspension topology 를 표현할 수 있는 이유를 설명한다.
forward kinematics (FK) vs full DAE (Featherstone) 의 trade-off 를 판단한다.
K&C (Kinematics & Compliance) chart 와 Adams Car cross-validation 의 의의를 설명한다.

Prerequisites¶

Chapter 06 — lumped 14-DOF (Ld3), suspension 의 quasi-static 처리.
Chapter 14 — 이 outlook 의 FK 가 실제로 구현된 상세.
외부 — multibody dynamics 기초 (Featherstone), 강체 운동학.

13.1 동기 — lumped 의 한계¶

Ld3 (chapter 06) 는 sprung corner displacement 를 small-angle linear 로, unsprung 를 single-DOF point mass 로 둔다. ride 의 quasi-static + transient 까지는 정확하나 다음을 표현 못 한다.

wheel kinematics — bump steer, roll steer, camber-from-roll 등 suspension geometry 효과.
anti-dive/anti-squat 의 정확한 model (scalar factor 근사만).
bushing compliance — corner spring 효과만, bushing 6-DOF compliance 없음.
suspension topology 차이 — MacPherson / DW / multi-link 의 구별.
K&C chart — chassis 설계자의 표준 도구.

이것들이 본격 multibody (Ld4 kinematics, Ld5 compliance) 의 동기다.

13.2 가정 / 범위¶

항목	현재 (Ld4)	미래 (Ld5)
Wheel kinematics	FK 구현 (chapter 14)	—
Joint	강체 joint	bushing compliance
Dynamics	FK + quasi-static	full DAE (Featherstone)
K&C	sweep CSV + plot	표준 chart 형식
Validation	self-consistency	Adams cross-validation

13.3 Multibody 데이터 모형¶

임의 suspension 을 표현하는 abstraction:

RigidBody — mass, inertia, CG, pose (chassis, control arm, strut, knuckle, tie rod 등).
Joint — Ball / Revolute / Cylindrical / Prismatic / Universal / Rigid. body 쌍 + 위치 + 축.
Bushing — bushing-local 6-DOF linear stiffness/damping (translation 3 + rotation 3).
Hardpoint — body-frame 좌표 (e.g. "lca_inner_front").
SuspensionTopology — 위들의 묶음 + K&C 출력 (toe, camber, caster, kingpin, scrub, trail).

solver interface 는 FK (forward_kinematics), quasi-static compliance, dynamics step 의 세 연산을 노출한다 (구현 §13.13 box).

Four suspension topologies

13.4 Standard suspension topology¶

Topology	차종 / Use
MacPherson strut	sedan front
Double wishbone (SLA)	sports / race front
Multi-link 5-link	sedan rear
Trailing arm	compact rear
Beam axle (rigid)	truck / 4WD rear
Twist beam	FWD compact rear

각 topology 가 hardpoint + joint + bushing 명세로 표현된다. 예로 MacPherson 은 chassis / LCA / strut / knuckle / tie_rod 의 5 body 와 revolute (LCA pivot) + ball (LCA-knuckle, strut top, tie rod) + prismatic/cylindrical (strut) 의 joint skeleton 으로 구성된다.

13.5 Forward Kinematics¶

문제: topology + wheel travel + steer 입력 → wheel center 의 world pose + toe, camber, caster.

해법은 각 topology 의 joint 제약을 만족하는 knuckle 자세를 푸는 것이다. MacPherson 예: strut top 은 chassis fixed, strut axis 는 prismatic, LCA outer ball 은 pivot 주변 원, tie rod outer 도 inner 주변 원 → knuckle 6-DOF 가 3 거리 제약 + 3 회전으로 결정. Newton-Raphson 또는 closed-form 으로 푼다 (상세 chapter 14).

K&C chart¶

travel ±100 mm, steer ±0.5 rad sweep 으로:

toe(travel) — bump steer
camber(travel) — camber gain
caster(steer) — caster trail change
track_change(travel) — scrub
roll_center(travel) — roll center height

chassis 설계자의 표준 chart. Adams Car / VI 가 GUI 로 자동 plot 한다.

13.6 Quasi-static compliance¶

문제: topology + travel (FK 결과) + WheelLoad (Fx, Fy, Fz) → bushing deflection + updated wheel pose (compliance steer/camber).

linear bushing \(F = -K q - C\dot q\), quasi-static (\(\dot q=0\)):

\[ K\, q_{\text{local}} = F_{\text{external,local}} \;\Rightarrow\; q_{\text{local}} = K^{-1} F_{\text{external,local}} \]

bushing 각각의 deflection 합이 wheel pose 를 약간 회전/평행이동시킨다. 이것이 compliance steer (Fy 가 toe 를 바꾸는 정도) 의 모델링이며, Ld1-Ld3 는 무시한다. Ld5 의 핵심이다.

13.7 Full multibody dynamics¶

constraint 가 있는 multibody EoM 은 DAE 가 된다. Featherstone 의 알고리즘 (kinematic tree O(n), general O(n³)) 또는 augmented Lagrangian (penalty, 정확하나 stiff) 으로 푼다. K&C chart 가 chassis 설계 deliverable 의 대부분을 cover 하므로 full DAE 는 우선순위에서 뒤로 둔다.

13.8 Adams Car cross-validation¶

동일 차종의 hardpoint (Adams .adm template) 를 import 해 K&C 를 비교한다.

항목	metric	target
Toe gain	mm/° at ±50 mm	±5 % vs Adams
Camber gain	°/°	±5 %
Roll center	height [mm] static	±10 mm
Caster trail	mm	±5 %
Scrub radius	mm	±3 mm

만족 시 chassis 설계자가 신뢰 가능. .adm parser 는 hardpoint coord + joint topology + bushing linear 부분을 추출한다 (nonlinear curve 는 polynomial fit).

13.9 차별화 요약¶

단일 C++/Python ABI 안에서 Ld1-Ld3 (autonomy 도메인 simplified) 부터 Ld4-Ld5 (chassis 도메인 multibody) 까지 사다리 전체를 cover 하고, control 사다리 Lc1-Lc8 와 m × n 통합한다. Adams Car 는 Ld4-Ld5 영역만 다루고 control 은 Simulink 외부이므로, 이 통합이 차별화 지점이다.

13.10 한계¶

항목	현재
FK solver	DW/MP/TA/5-link 구현 (chapter 14)
Hardpoint 값	indicative (실측 fit 필요)
Bushing compliance	강체 joint 만 (Ld5, Phase 2)
Full DAE	FK + quasi-static 만
K&C 표준 chart	sweep CSV + plot; Adams 형식 미완

Ld4 kinematics 는 구현 완료, Ld5 compliance 가 Phase 2 의 다음 큰 항목이다.

13.11 다음 chapter 와의 연결¶

이 outlook 의 FK 가 실제로 어떻게 구현됐는지 — 4 topology 의 운동학 제약과 풀이, lookup/native 두 backend, Ld3 통합 — 는 chapter 14 (Hardpoint Kinematics) 에서 식 단위로 다룬다.

13.12 참고문헌¶

Featherstone, R., Rigid Body Dynamics Algorithms, Springer, 2008.
Genta, G., Motor Vehicle Dynamics, World Scientific, 2014, §8 multibody chassis.
Reimpell, Stoll, Betzler, The Automotive Chassis, 2001, suspension geometry / K&C.
Adams Car User Manual (MSC Hexagon) — .adm schema.

13.13 Self-check¶

1. lumped Ld3 가 bump steer 를 표현 못 하는 근본 이유?

unsprung 을 single vertical DOF point mass 로 두어 wheel 의 회전 운동학 (suspension geometry 가 만드는 toe/camber 변화) 자체가 모델에 없다. hardpoint 기반 FK 가 있어야 표현된다.

2. hardpoint+joint+bushing 으로 임의 topology 를 표현할 수 있는 이유?

모든 suspension 은 강체(body) + 연결(joint) + 탄성(bushing) 의 조합이다. 이 세 primitive 와 좌표(hardpoint)만 주면 DW/MP/multilink 가 같은 데이터 모형의 인스턴스가 된다.

3. FK + quasi-static 만으로도 chassis 설계에 충분한 경우는?

K&C chart (toe/camber/caster gain, roll center) 가 설계 deliverable 의 대부분. 이는 kinematic sweep + 선형 compliance 로 얻어지므로 full DAE 없이 cover 된다.

4. compliance steer 란 무엇이며 어느 ladder 가 다루나?

Fy 등 외력이 bushing 을 변형시켜 toe 가 변하는 현상. 강체 joint 만 있는 Ld1-Ld4 는 무시하고, bushing 6-DOF compliance 를 갖는 Ld5 가 다룬다.

5. Adams cross-validation 의 target 이 toe/camber gain 인 이유?

이들이 handling 거동을 좌우하는 핵심 K&C metric 이고 Adams 가 industry reference 이므로, gain 이 ±5 % 안에 들면 kinematic 모델의 신뢰성이 입증된다.

13.14 VDSim 구현 노트¶

[VDSim impl] § 13.3 — multibody.hpp 데이터 모형

core/include/vdsim/multibody.hpp (M0 stub): RigidBody, enum JointType { Ball, Revolute, Cylindrical, Prismatic, Universal, Rigid }, Joint, Bushing (6-DOF k/c), Hardpoint, SuspensionTopology, IMultibodySolver (forward_kinematics / quasi_static_compliance / step_dynamics).

[VDSim impl] § 13.4 — topology config

configs/suspensions/*.yaml 에 hardpoint + joint + bushing 명세. MacPherson (sedan FL) 예: bodies LCA(8.5)/strut(12.0)/knuckle(6.5)/tie_rod(1.8), hardpoints lca_inner_front/rear, lca_outer_ball, strut_top_mount, strut_to_knuckle, tie_rod_inner/outer, wheel_center.

[VDSim impl] § 13.8 — Adams import

.adm/CSV → VDSim YAML parser: import_hardpoints.py (chapter 14.9). 본 프로젝트의 python/tir_to_yaml.py 패턴 재사용.

[VDSim impl] § 13.10 — Roadmap M0-M7 상태

Stage 상태 deliverable

M0 done header + topology YAML stub

M1 done FK attach, L4_Kinematic, native + lookup

M2 done topology graph (MP/DW/TA/5-link)

M3 done quasi-static bushing compliance

M4 done hard-joint corner DAE + Baumgarte travel (L4 runtime)

M5 done K&C sweep + GUI charts

M6 done Adams import x-check (5 gains, 5% rtol)

M7 done lumped 1-DOF revolute RNEA (offline, not L4 step)

Spec: docs/design/LD4_MULTIBODY.md. Full loop Featherstone / augmented Lagrangian → v0.6+.

Stage	상태	deliverable
M0	done	header + topology YAML stub
M1	done	FK attach, `L4_Kinematic`, native + lookup
M2	done	topology graph (MP/DW/TA/5-link)
M3	done	quasi-static bushing compliance
M4	done	hard-joint corner DAE + Baumgarte travel (L4 runtime)
M5	done	K&C sweep + GUI charts
M6	done	Adams import x-check (5 gains, 5% rtol)
M7	done	lumped 1-DOF revolute RNEA (offline, not L4 step)